Вписанный угол

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, заключенную внутри этого угла. На рисунке 146 вписанный угол ABC опирается на дугу AMC.

Вписанный угол

Докажем теорему о вписанном угле.

Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Величина вписанного угла

Доказательство. Рассмотрим вписанный угол ABC, опирающийся на дугу AC окружности (рис. 147, а), и докажем, что .

Проведем через точку B касательную PQ к окружности (рис. 147, б). Лучи BA и BC делят развернутый угол PBQ на три угла: ∠PBA, ∠ABC и ∠CBQ. Угол PBA (угол между касательной PQ и хордой AB) равен. Аналогично . Следовательно,

Теорема доказана.

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 148).
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой (рис. 149).

Вписанные углы

Отметим также, что

если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника, то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности.

В самом деле, середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершины (см. п. 24), поэтому если диаметром окружности является гипотенуза (рис. 150), то окружность проходит через все вершины треугольника и, следовательно, вершина прямого угла лежит на этой окружности.

Диаметр окружности - гипотенуза

Математика: