Проекция отрезка

Проекцией точки M на прямую a называется основание перпендикуляра, проведенного из точки M к прямой a, если точка M не лежит на прямой a, и сама точка M, если она лежит на прямой a. Проекцией отрезка на прямую a называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую a.

Рассмотрим острый угол POQ и отрезок AB, лежащий на стороне OP этого угла (рис. 111, а). Пусть A₁ и B₁ – проекции точек A и B на прямую OQ. Наглядно видно, что отрезок A₁B₁ является проекцией отрезка AB на прямую OQ. Однако этот факт требует обоснования: нужно доказать, что проекция каждой точки отрезка AB лежит на отрезке A₁B₁ и, обратно, каждая точка отрезка A₁B₁ является проекцией некоторой точки отрезка AB.

Начнем с доказательства первого утверждения.

Пусть M₁ – проекция точки M отрезка AB на прямую OQ (рис. 111, б). Докажем, что точка M₁ лежит на отрезке A₁B₁. Так как прямые AA₁ и MM₁ перпендикулярны к прямой OQ, то они не пересекаются, поэтому точка A₁ лежит по ту же сторону от прямой MM₁, что и точка A. По аналогичной причине точка B₁ лежит по ту же сторону от прямой MM₁, поскольку эта прямая пересекает отрезок AB. Следовательно, точки A₁ и B₁ также лежат по разные стороны от прямой MM₁, поэтому точка M₁ лежит между точками A₁ и B₁, т. е. лежит на отрезке A₁B₁. Первая часть утверждения доказана.

Пусть теперь M₁ – произвольная точка отрезка A₁B₁. Докажем, что она является проекцией некоторой точки отрезка AB. Проведем прямую M₁N, перпендикулярную прямой OQ (рис. 111, в). Точки A и A₁ лежат по одну сторону от этой прямой (поскольку прямые AA₁ и M₁N не пересекаются), точки B и B₁ также лежат по одну сторону от прямой M₁N, а точки A₁ и B₁ лежат по разные стороны от этой прямой. Следовательно, точка A и B также лежат по разные стороны от прямой M₁N, и поэтому прямая M₁N пересекает отрезок AB в некоторой точке M (рис. 111, г). Проекцией этой точки на прямую OQ и является точка M₁. Утверждение доказано.

Проекция отрезка стороны угла на другую сторону

Отметим, что точка A₁ и B₁ лежат на стороне OQ угла POQ, а не на ее продолжении. В самом деле, если предположить, что точка A₁ лежит на продолжении стороны OQ (рис. 112), то получается треугольник AA₁O с прямым углом A₁ и тупым углом O, чего не может быть. Итак, мы доказали, что

проекцией отрезка, лежащего на одной из сторон острого угла на другую сторону является отрезок.


Докажем теперь теорему о проекциях равных отрезков.

Теорема. Если два отрезка, лежащие на одной стороне острого угла, равны, то их проекции на другую сторону также равны.

Доказательство. Рассмотрим равные отрезки AB и CD, лежащие на одной из сторон острого угла O (рис. 113, а). Пусть A₁, B₁, C₁ и D₁ – проекции точек A, B, C и D на другую сторону данного угла. Требуется доказать, что A₁B₁ = C₁D₁.

Проекция отрезка стороны угла на другую сторону

Пусть A₂ – проекция точки A на прямую BB₁, C₂ – проекция точки C на прямую DD₁. Прямоугольные треугольники ABA₂ и CDC₂ равны по гипотенузе и острому углу (AB = CD по условию, ∠OBB₁ = 90° – ∠O = ∠ODD₁), поэтому AA₂ = CC₂.

В четырехугольнике AA₁B₁A₂ углы A₁, A₂ и B₁ прямые, поэтому этот четырехугольник – прямоуголь­ник, и его противоположные стороны AA₂ и A₁B₁ равны. Аналогично CC₂ = C₁D₁. Итак, A₂B₁ = AA₂ = CC₂ = C₁D₁, и, значит, A₁B₁ = C₁D₁. Теорема доказана.

Замечание. Если равные отрезки AB и CD расположены так, как показано на рисунке 113, б (т. е. точка A совпадает с вершиной угла), то их проекции AB₁ и C₁D₁ равны. Доказательство этого утверждения приведено на рисунке 113, б.

Следствие. Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка, один из которых в n раз больше второго (n – натуральное число), то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка.

Действительно, обратимся к рисунку 114, на котором A₀A₁ = A₁A₂ = … = An-1An и, следовательно, B₀B₁ = B₁B₂ = … = Bn-1Bn. Из этих равенств следует, что A₀An = nA₀A₁, B₀Bn = nB₀B₁. Мы видим, что отрезок A₀A₁ в n раз больше отрезка A₀A₁ и его проекция B₀B в n раз больше проекции B₀B₁ отрезка A₀A₁.

Проекция отрезков сторон угла на другую сторону

Середина гипотенузы прямо­угольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

В самом деле, пусть точка M – середина гипотенузы AB прямо­угольного треугольника ABC, точка M₁ – проекция точки M на прямую AC (рис. 115). Поскольку отрезки MA и MB равны, то их проекции M₁A и M₁C также равны. Итак, MM₁ ⊥ AC и M₁A = M₁C. Это означает, что прямая MM₁ – серединный перпендикуляр к отрезку AC. Следовательно, MA = MC. Таким образом, MA = MB = MC, что и требовалось доказать.

Равноудаленность середины гипотенузы от вершин

Следствие 2 можно сформулировать иначе:

медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.