Теорема о высоте равнобедренного треугольника

На рисунке 69 биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке N. Отрезок AN называется биссектрисой треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника (рис. 70).

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника (рис. 71).

Биссектриса, медиана и высота треугольника

Докажем теорему о высоте равнобедренного треугольника.

Теорема. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором отрезок AD – высота, проведенная к основанию BC (рис. 72. а). Докажем, что отрезок AD является также медианой и биссектрисой треугольника ABC.

Мысленно скопируем треугольник ABC на лист прозрачной бумаги, перевернем копию (рис. 72, б) и наложим ее на треугольник ABC так, чтобы совместились вершина A копии с вершиной A треугольника, а отрезок AB копии с равной ему стороной AC треугольника. В результате (как мы знаем из п. 11) копия полностью совместится с треугольником ABC.

Доказательство совпадения биссектрисы, медианы и высоты в равнобедренном треугольнике

Так как из точки A можно провести только один перпендикуляр к прямой BC, то отрезок AD копии совместится с высотой AD треугольника ABC (рис. 72, в). При этом отрезок BD копии совместится с отрезком CD треугольника, и поэтому BD = CD, а угол BAD копии совместится с углом CAD треугольника, и, значит, ∠BAD = ∠CAD. Из этого следует, что отрезок AD является медианой и биссектрисой треугольника ABC. Теорема доказана.

Происхождение термина `медиана`

Утверждение, которое выводится непосредственно из теоремы, называется следствием. Поскольку мы установили, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают, то в качестве следствия из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения:

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и медианой.

Пересечение медиан и биссектрис треугольника
Замечание. Любой треугольник имеет три медианы (рис. 73), три биссектрисы (рис. 74) и три высоты (рис. 75). Посмотрим на рисунки 73-75. Мы видим, что три медианы треугольника на рисунке 73 пересекаются в одной точке, три биссектрисы треугольника на рисунке 74 пересекаются в одной точке, три высоты треугольника или их продолжения на рисунках 75, а, б, в также пересекаются в одной точке. Случайно это или так будет в любом треугольнике? Оказывается, что так будет в любом треугольнике, но доказать это мы сможем только в 8 классе.
Пересечение высот треугольника