Первый признак равенства треугольников

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB = A1B1, AC = A1C1, ∠A = ∠A1 (рис. 82, а), и докажем, что эти треугольники равны.

Первый признак равенства треугольников

Мысленно наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, а стороны AB и AC наложились на лучи A1B1 и A1C1. Это можно сделать, так как углы A и A1 равны (рис. 82, б).

Поскольку AB = A1B1 и AC = A1C1, то сторона AB совместится со стороной A1B1, а сторона AC совместится со стороной A1C1 (рис 82, в), в частности совместятся точки B и B1, C и C1. Следовательно, совместятся стороны BC и B1C1. Итак, треугольники полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников двух сторон и угла между ними), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется первым признаком равенства треугольников.