Равные треугольники

Напомним, что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением. Рассмотрим равные треугольники ABC и A1B1C1 (рис. 81). Каждый из них можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. вершины, стороны и углы одного треугольника совместятся с вершинами, сторонами и углами другого.

Равные треугольники
Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны. Так, например, на рисунке 81 против равных сторон AB и A1B1 лежат равные углы C и C1. Равенство треугольников ABC и A1B1C1 условимся обозначать так: ∆ABC = ∆A1B1C1.

Отметим, что при наложении равных треугольников друг на друга совмещаются не только стороны и углы этих треугольников, но и соответствующие медианы, биссектрисы и высоты. Таким образом, в равных треугольниках соответствующие медианы, биссектрисы и высоты равны.

Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить путем сравнения некоторых их элементов, т. е. без фактического наложения треугольников друг на друга. Возможность установить равенство двух фигур, не производя наложения одной на другую, а лишь измеряя и сравнивая некоторые их элементы, важна на практике, например при сравнении двух земельных участков, которые, конечно же, нельзя наложить один на другой. В этом параграфе мы докажем три теоремы о равенстве треугольников.