Взаимное расположение прямой и окружности

Рассмотрим окружность с центром O радиуса r и прямую a.

Если прямая a проходит через точку O, то она пересекает окружность в двух точках – концах диаметра, лежащего на этой прямой (рис. 133).

Прямая пересекает окружность в центральной точке

Если же прямая a не проходит через точку O, то проведем перпендикуляр OH к прямой a и обозначим его длину, т. е. расстояние от центра данной окружности до прямой a, буквой d. Выясним, сколько общих точек имеют прямая a и окружность в зависимость от соотношения между d и r.

Возможны три случая.

1. d < r. Поскольку OH < r, то точка H лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью (рис. 134, а). На прямой a от точки H отложим отрезок HD = r (рис. 134, б). Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD, поэтому OD > r. Это означает, что точка D лежит вне круга, ограниченного данной окружностью. Таким образом, один конец отрезка HD (точка H) лежит внутри указанного круга, а другой (точка D) – вне этого круга. Следовательно, на отрезке HD найдется точка A, лежащая на окружности (рис. 134, в), т. е. OA = r.

Отложим на продолжении луча HA отрезок HB, равный отрезку HA (рис. 134, г). Прямоугольные треугольники OHA и OHB равны по двум катетам. Следовательно, OB = OA = r, поэтому точка B также является общей точкой прямой и окружности. Поскольку никакие три точки окружности не лежат на одной прямой, то других общих точек у прямой a и окружности нет.

Секущая имеет с окружностью две общие точки

Итак,

если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < r), то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

2. d = r. Так как OH = r, то точка H лежит на окружности и, следовательно, является общей точкой прямой a и окружности (рис. 135). Для любой другой точки M прямой a наклонная OM больше перпендикуляра OH, т. е. OM > OH = r, и поэтому точка M не лежит на данной окружности.

Касательная имеет с окружностью одну общую точку

Таким образом,

если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d = r), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности, а их общая точка называется точкой касанию прямой и окружности.

3. d > r. Так как OH > r, то для любой точки M прямой a справедливо неравенство OM ⩾ OH > r (рис. 136). Следовательно, точка M не лежит на окружности. Итак,

если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d > r), то прямая и окружность не имеют общих точек.

Прямая и окружность, не имеющие общих точек