Угол между касательной и хордой

Рассмотрим окружность с центром O и прямую CC₁, касающуюся окружности в точке A (рис. 144). Проведем хорду AB. Каждый из углов BAC и BAC₁ будем называть углом между касательной и хордой.

Углы между касательной и хордой
Докажем теорему об угле между касательной и хордой.

Теорема. Угол между касательной и хордой измеряется половиной заключенной внутри этого угла дуги.

Величины углов между касательной и хордой

Доказательство. Если хорда AB – диаметр (рис. 145, а), то дуги, заключенные внутри углов BAC и BAC₁, являются полуокружностями и, следовательно, равны 180°. Поскольку ∠BAC = ∠BAC₁ = 90°, то утверждение теоремы справедливо.

Если же хорда AB не является диаметром (рис. 145, б), то острый угол CAB между касательной CC₁ и хордой AB равен 90° – ∠OAB, а тупой угол C₁AB равен 90° + ∠OAB.

Обозначим буквой α величину центрального угла AOB (рис. 145, в). Тогда ◡AB = α и ◡ADB = 360° – α. В равнобедренном треугольнике AOB угол OAB равен

Вычисление углов между касательной и хордой

Таким образом, каждый из углов между касательной CC₁ и хордой AB измеряется половиной заключенной внутри него дуги. Теорема доказана.