Построение биссектрисы угла

Задача

Построить биссектрису данного неразвернутого угла.

Решение

Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине A данного угла и обозначим точки ее пересечения со сторонами угла буквами B и C (рис. 158, а). Затем построим две окружности радиуса BC с центрами B и C (рис. 158, б, в). Они пересекутся в двух точках (см. задачу 109). Ту из точек пересечения окружностей, которая лежит с точкой A по разные стороны от прямой BC, обозначим буквой D (см. рис. 158, в). Наконец, проведем луч AD (рис. 158, г). Это и есть искомая биссектриса данного угла A.

Построение биссектрисы угла

В самом деле, треугольники ABD и ACD равны по трем сторонам (AB = AC, BD = CD, AD – общая сторона). Поэтому ∠BAD = ∠CAD, т. е. луч AD – биссектриса данного угла A.

Замечание. Проведя биссектрису данного угла A, мы разделили его на два равных угла. Если каждую половину разделить пополам, то угол A окажется разделенным на четыре равных угла. А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на три равных угла? Эта задача называется задачей о трисекции угла. В течение веков ее пытались решить многие математики. И лишь в 1837 году французский математик Пьер Лоран Ванцель (1814-1848) доказал, что с помощью циркуля и линейки разделить произвольный угол на три равных угла невозможно. Правда, для некоторых углов эта задача имеет решение, например для прямого угла (объясните, почему).

Пример трисекции угла