Свойство биссектрисы угла

Докажем сначала теорему о биссектрисе угла, а затем обратную ей теорему.

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. (То есть равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.)

Доказательство. Обозначим буквой M произвольную точку биссектрисы неразвернутого угла A, проведем перпендикуляры MH и MK (рис. 109).

Биссектриса - равноудаленные точки от сторон угла

Прямоугольные треугольники AMH и AMK равны по гипотенузе и острому углу (AM – общая гипотенуза, ∠1 = ∠2 по условию). Следовательно, MH = MK. Теорема доказана.

Теорема. Каждая точка, лежащая внутри неразвернутого угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Доказательство. Рассмотрим точку M, которая лежит внутри неразвернутого угла A и равноудалена от его сторон, т. е. перпендикуляры MH и MK к сторонам равны (рис. 110). Докажем, что луч AM – биссектриса угла A.

Биссектриса - равноудаленные точки от сторон угла

Прямоугольные треугольники AMH и AMK равны по гипотенузе и катету (AM – общая гипотенуза, MH = MK по условию). Поэтому, ∠1 = ∠2, т. е. луч AM – биссектриса угла A. Теорема доказана.

Следствие. Множество всех точек плоскости, каждая из которых лежит внутри неразвернутого угла и равноудалена от его сторон, есть биссектриса этого угла.