Измерение величин. Метрическая система мер

§ 106. Введение. До сих пор мы имели дело только с целыми числами. Основой для введения целых чисел исторически были прежде всего потребности счета; и этим потребностям целые числа вполне удовлетворяют. Но деятельность человека уже в глубокой древности создала потребности, для удовлетворения которых целых чисел оказалось недостаточно. Появилась необходимость введения новых чисел, и арифметика должна была заняться изучением свойств этих чисел и действий над ними.

Одним из основных видов человеческой практики, приведших к необходимости рассмотрения более широких классов чисел, является измерение величин. Поэтому, прежде чем мы перейдем к изучению этих чисел, мы должны остановиться на вопросе о том, что такое измерение величин., и на важнейших понятиях, связанных с этим процессом.

§ 107. Измерение величин. Положим, что мы хотим составить себе точное представление о длине какой-нибудь комнаты; тогда мы измеряем эту длину при помощи другой длины, которая нам хорошо известна, например при помощи метра. Для этого откладываем метр по длине нашей комнаты столько раз, сколько можно. Если он уложится по длине комнаты ровно 10 раз, то длина ее равна 10 метрам. Подобно этому, чтобы измерить вес какого-либо предмета, мы берем другой вес, который нам хорошо известен, например грамм, и узнаем (с помощью весов), сколько раз грамм содержится в измеряемом весе. Пусть он содержится ровно 5 раз; тогда все предмета равен 5 граммам.

Известная нам величина, употребляемая для измерения других, называется единицей величин этого рода. Так, метр есть единица длины, грамм-единица веса т. п. Для каждого рода величин обыкновенно выбирают несколько единиц, одни более крупные, другие более мелкие. Так, для измерения веса кроме грамма, употребляют еще: килограмм, тонну, миллиграмм и т. п.

Измерить какую-нибудь величину значат найти, сколько раз в ней содержится другая величина того же рода, принятая за единицу.

§ 108. Меры. В каждом государстве правительство установило определенные единицы для главнейших величин. Сделаны образцовые единицы: образцовые метр, килограмм и т, и., по которым приготовляют единицы для обиходного употребления. Единицы, вошедшие в употребление, называются мерами.

Меры называются однородными, если они служат для измерения величин одного рода. Так, грамм и килограмм – меры однородные, так как они служат для измерения веса.

Отношение двух однородных мер называется число, показывающее, сколько раз меньшая мера содержится в большей. Так, отношение метра к сантиметру есть число 100.

§ 109. Метрическая система мер. В настоящее время у нас введена метрическая система мер. принятая и во многих других странах.

За единицу длины в этой системе принят метр.

Международным прототипом метра Первой генеральной конференцией мер и весов в 1889 г. признана нарезная платино-иридиевая мера, которая хранится в Международном бюро мер и весов в Севре (Франция).

В России за прототип метра привязи копия международного платино-иридиевого метра, хранящаяся в Санкт-Петербурге.

Метр разделяется на 10 равных частей, десятая часть метра – еще на 10 равных частей, сотая часть метра, в свою очередь, на 10 равных частей и т. д. С другой стороны, употребляются меры в 10 метров, в 100 метров и т.д. Чтобы назвать десятичные подразделения метра, присоединяют к слову «метр» латинские с:лова: «деци» (для обозначения одной десятой), «центи» (одной сотой), «милли» (одной тысячной); так, дециметр означает одну десятую часть метра, центиметр – одну сотую часть метра, миллиметр – одну тысячную часть метра.

Впрочем, слово «центиметр» чаще заменяется французским словом «сантиметр».

Один дециметр

Рис. 1 изображает 1 дециметр, разделенный на сантиметры и миллиметры (в натуральную величину).

Меры, кратные метра, называются при помощи греческих слов: дека (10), гекто (100), кило (1000): так, декаметр означает 10 метров, гектометр — 100 метров, километр — 1000 метров.

Названия метрических мер принято сокращенно обозначать так:

Названия и обозначения метрических мер

Для измерения площадей употребляются квадратные меры: квадратный метр, т. е. площадь квадрата, сторона которого имеет длину 1 м, квадратный декаметр и т. п. Каждая из таких мер содержит в себе 100 мер следующего низшего разряда; так, квадратный дециметр содержит 100 квадратных сантиметров. Для измерения площади полей употребляются ар (а) и гектар (га). Ар есть квадратный декаметр; гектар равен 100 арам и есть, следовательно, квадратный гектометр.

Для измерения объемов служат кубические меры: кубический метр, т. е. объем куба, ребро которого имеет длину 1 м, кубический дециметр и т.д. Каждая из этих мер содержит в себе 1000 мер следующего низшего разряда; так, кубический метр содержит 1000 кубических дециметров.

Единицей веса служит грамм (г). Грамм приблизительно равен весу одного кубического сантиметра чистой перегнанной воды при температуре 4º Цельсия (или 3,2º Реомюра) в безвоздушном пространстве. Грамм подразделяется на дециграммы, сантиграммы и миллиграммы; веса, кратные грамма, называются: декаграмм, гектограмм и килограмм (часто называемый сокращенно «кило»: обозначается кг).

Употребительны еще меры: тонна, равная 1000 килограммам, и центнер, равный 100 килограммам.

Для измерения вместимости сосудов (и объемов жидких и сыпучих тел) употребляется литр (л).

Литр есть объем, приблизительно равный одному кубическому дециметру. Точнее, литр есть объем одного килограмма воды при наибольшей ее плотности и при нормальном атмосферном давлении. Употребляется также гектолитр, равный 100 л.

Употребительны еще децилитр, центилитр, декалитр и килолитр.

§ 110. Удобства метрической системы. Метрическая система мер обладает следующими тремя важными удобствами:

1) меры различных величин находятся в простой зависимости от основной меры метра; 2) отношение мер соседних разрядов одно и то же для всех разрядов и всех величин (кроме, конечно, поверхностей и объемов); 3) это отношение равно основанию нашей системы счисления, вследствие чего действия над именованными числами значительно упрощаются.

§ 111. Меры времени. Есть две основные меры времени: сутки и год. Сутки представляют (приблизительно) то время, в течение которого Земля совершает полный оборот около своей оси; они разделяются на 24 часа, считаемые либо от 1 до 24, либо от 1 до 12 и затем опять от 1 до 12. За начало суток принимают полночь. В настоящее время в практике путей сообщения, почт, телеграфов и радиовещания принято считать часы от 0 до 24 (чтобы избежать излишнего добавления слов: «после полудня», «попас полуночи»).

Так, вместо «2 часа дня» говорят «14 часов», вместо «7 часов вечера» говорят «19 часов». Сутки подразделяются так:

сутки = 24 часам,
час = 60 минутам,
минута = 60 секундам.

Год представляет собой (приблизительно) то время, в течение которого Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Принято считать каждые 3 последовательных года по 365 дней, а следующий за ними четвертый в 366 дней. Год, содержащий в себе 366 дней, называется високосным, а годы, содержащие по 365 дней, простыми. К четвертому году добавляют один лишний день по следующей причине. Время обращения Земли вокруг Солнца содержит в себе не ровно 365 суток, а 365 суток и 6 часов (приблизительно). Таким образом, простой год короче истинного года на 6 часов, а 4 простых года короче 4 истинных годов на 24 часа, т. е. на одни сутки. Поэтому к каждому четвертому году добавляют одни сутки (29 февраля). При этом за високосные принимают годы, числа которых делятся на 4 без остатка (например 1936. 1940 и т.д.). Год разделяется на 12 неравных частей, называемых месяца,ми. Вот названия месяцев по порядку: январь (31 день), февраль (28 или 29), март (31), апрель (30), май (31), июнь (30), июль (31), август (31). сентябрь (30), октябрь (31), ноябрь (30), декабрь (31).

Летоисчисление, по которому 3 года считаются в 365 дней, а четвертый в 366, было установлено римским диктатором Юлием Цезарем (в 46 г. до нашей эры) и потому называется юлианским, или старым стилем. Оно было до революции принято в России, но после Великой Октябрьской социалистической революции заменено международным новым стилем, или грегорианским летосчислением (названным так по имени римского папы Григория XIII, введшего это счисление в 1582 г.). По этому счислению счет времени в XX в. идет на 13 дней впереди старого стиля; так, когда по старому стилю, положим, 10 декабря, то по новому стилю считают 23 декабря. Таким образом, чтобы от нового стиля перейти к старому, надо от даты нового стиля отсчитать 13 дней. Например, если у нас было 5 марта 1936 г., то по старому стилю это означало 21 февраля того же года, так как, отсчитав 5 мартовских дней, мы остальные 8 дней должны отсчитать от февраля, а этот месяц в 1936 г, имел 29 дней.

§ 112. Основы грегорианского летосчисления. Время, протекающее от одного весеннего равноденствия до следующего весеннего равноденствия, называется солнечным, или тропическим годом; время, считаемое за год по гражданскому летосчислению, называется гражданским годом. Так как перемены времен года зависят от положения Земли относительно Солнца, то солнечный год представляет такой промежуток времени, в течение которого вполне завершаются перемены времени года. Поэтому желательно, чтобы год гражданский по возможности совпадал с годом солнечным; только при этом условии времена года в разные эпохи будут приходиться в одни и те же месяцы. Летоисчисление, введенное Юлием Цезарем, не достигало этого вполне. По этому счислению гражданский год считается в 365 дней и 6 часов, тогда как солнечный год содержит (приблизительно) 365 дней 5 часов 48 минут 48 секунд, так что год юлианского счисления длиннее солнечного (приблизительно) на 11 минут 12 секунд, что в 400 лет составляет около трех дней. Юлианское летоисчисление исправлено было впервые папой Григорием XIII в 1582 г. К этому году разница между гражданским счислением времени и солнечным составляла 10 суток, так что считали, например, 1 сентября, когда следовало бы по солнечному времени считать 11 сентября. Чтобы уравнять гражданское время с солнечным, Григорий предложил вместо 5 октября в 1582 г. считать 15 октября. Но так как подобное запаздывание должно было повториться и впоследствии, то было установлено, чтобы на будущее время каждые 400 лет гражданского счисления были сокращены на трое суток. Это сокращение должно было производиться таким образом. По юлианскому счислению те годы, номера которых представляют полные сотни, считаются високосными, например, годы в 366, 1600, 1700, и т. п. должны считаться по юлианскому счислению в 366 дней. Но Григорий предложил, чтобы такие годы считались простыми, кроме тех, у которых число сотен делится на 4. Вследствие этого, по грегорианскому летосчислению 1600 г. должен был считаться високосным (16 делится на 4), а 1700, 1800, 1900 гг. – простыми, тогда как по юлианскому счислению все эти 4 года считались високосными. Таким образом, каждые 400 лет сокращаются на трое суток. Счисление, установленное Григорием XIII, известно под именем грегорианского. Оно в настоящее время принято почти по всей Европе. Грегорианское счисление называется иначе новым стилем, а юлианское – старым стилем. Так как в 1582 г. новый стиль подвинулся вперед от старого стиля на 10 дней, а после того еще на 3 дня (в 1700, 1800, 1900 гг.), то в настоящее время старый стиль отстает от нового на 13 дней.

§ 113. Именованные числа. Целое число вместе с указанием наименования тех единиц, из которых оно составлено, называется именованным числом. Так, 5 карандашей, 3 метра, 37 граммов именованные числа. Если же при числе не указано наименования тех единиц, из которых оно составлено, то такое число называется отвлеченным. 5, 3, 37 – отвлеченные числа.

Словам «именованное число» иногда придается более общее значение. Пусть при измерении веса некоторого тела мы павши, что этот вес составляет 3 кг и сверх того еще 350 г; тогда вес этого тела, записанный в виде

3 кг 350 г,

также называют именованным числом (хотя здесь на самом деле имеются два различных числа и две различные меры). Подобным же образом 12 м 47 см называется именованным числом.

Именованное число называется простым, если в него входят единицы только одного наименования, например 3 кг.

Именованное число называется составным, если в него входят единицы различных наименований, например 3 кг 350 г.

Если два именованных числа выражают одну и ту же величину, то они считаются равными. Например, составное именованное число 2 км 25 м равно простому именованному числу 2025 м, так как оба эти чиста выражают одну и ту же длину.

Преобразование именованного числа в единицы одного какого-нибудь низшего разряда называется раздроблением, а обратное преобразование именованного числа в единицы высших разрядов называется превращением. Так, преобразование числа 2 км 25 м в 2025 м будет раздроблением, а обратное преобразование числа 2025 м в 2 км 25 м будет превращением.

§ 114. Почему для измерения величин нужны новые числа. Когда мы хотим сосчитать, сколько столов в классе или сколько деревьев в саду, то всегда найдется целое число, отвечающее на наш вопрос. Поэтому для счета предметов никаких других чисел, кроме целых, не требуется.

Но когда мы хотим измерить, например, длину комнаты, то мы хотим узнать, сколько раз выбранная единица длины, например метр., содержится в этой длине. При этом может случиться, что мы отложим метр 5 раз и заметим, что осталась еще неизмеренная часть длины, но что наш метр в этой части не укладывается – она меньше метра. Это значит, что измеряемая длина содержит единицу измерения (метр) больше 5 раз, но меньше 6 раз. Значит, никакое целое число не может служить ответом на вопрос о том, сколько метров содержит измеряемая длина (потому что нет целого числа, которое больше 5, но меньше 6). Если мы хотим все же получить на наш вопрос ответ в виде некоторого числа, то мы должны расширить область изучаемых нами чисел, т. е. ввести, кроме целых чисел, еще другие, новые числа. К изучению этих чисел мы теперь и переходим.

Математика: