Сложение

§ 19. Что такое сложение. Единицы, из которых составлено несколько чисел, могут быть объединены в одно собрание. Число, которое получится после счета всех единиц этого собрания, называется суммой, а те числа, которые соединяются в одно собрание, называются слагаемыми. Так, 5 спичек да 7 спичек да 2 спички могут быть соединены в одно собрание 14 спичек. Число 14 есть сумма трех слагаемых: 5, 7 и 2. Слагаемых может быть 2, 3 и более.

Слагаемые можно рассматривать как части суммы.

Нахождение по нескольким данным числам одного нового числа называется арифметическим действием (для краткости мы го будем просто называть действием).

Действие, состоящее в образовании суммы нескольких чисел, называется сложением этих чисел.

Знак сложения есть + (плюс); так, если написано: 5 + 7+ 2, то это означает сумму чисел 5, 7 и 2.

Действие сложения всегда возможно (любые числа могут быть соединены в одно собрание) и всегда даст единственный результат.

§ 20. Основные свойства суммы. 1) Сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых.
Так, сумма 5 + 7 + 2 всегда равна 14, в каком бы порядке мы и производили сложение:

5 + 7 + 2 = 2 + 7 + 5 = 7 + 5 + 2 = 14.

Свойство это принято называть переместительным законом сложения, так как оно состоит в том, что слагаемые можно перемещать, не изменяя суммы.

В общем виде это свойство для трех слагаемых можно записать так:

a + b + c = a + c + b = b + a + c = b + c + a = c + a + b = c + b + a,

где под буквами разумеются какие угодно числа.

2) Сумма не изменится, если какую-либо группу слагаемых мы заменим их суммой.

Например, сумма 5 + 7 + 2 не изменится, если мы слагаемые 7 и 2 заменим их суммой:

5 + 7 + 2 = 5 + 9 = 14.

Это свойство называется сочетательным законом сложения, так как оно состоит в том, что любые слагаемые мы можем сочетать (соединять) в одно число (в одну группу).

В общем виде это свойство для трех слагаемых можно записать так:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c),

где скобками указано, в каком порядке надо произвести сложение: сначала сделать сложение, указанное внутри скобок, а затем сложение, указанное вне скобок.

§ 21. Как прибавить сумму и как прибавить к сумме. Из основных свойств суммы можно вывести следующие два предложения:

1) Чтобы прибавить к какому-нибудь числу сумму нескольких чисел, можно прибавить к этому числу каждое слагаемое одно за другим.
Так

100 + (20 + 7 + 3) = 100 + 20 + 7 + 3.

(Скобки здесь и в дальнейшем означают, что действия, стоящие внутри скобок, должны быть выполнены прежде остальных; подробнее об употреблении скобок см. § 41.)

В самом деле, на основании свойства 2) (§ 20) правая часть написанного равенства не изменится, если мы в ней слагаемые 20, 7 и 3 соединим в одну группу; но, сделав это, мы получим как раз левую часть написанного равенства.

2) Чтобы прибавить какое-нибудь число к сумме, можно прибавить это число к одному какому-нибудь слагаемому, оставив другие без изменения.
Так

(35 + 15 + 20) + 10 = (35 + 10) + 15 + 20 = 35 + (15 + 10) + 20 = ...

Все эти суммы равны сумме 35 + 15 + 20 + 10, только в некоторых из них слагаемые переставлены и некоторые из слагаемых соединены в одну группу. Поэтому на основании свойств 1) и 2) (§ 20) все эти суммы равны сумме 35 + 15 + 20 + 10 и, значит, равны между собой.

§ 22. Сложение двух однозначных чисел. Чтобы найти сумму двух однозначных чисел, достаточно к одному их них присчитать все единицы другого. Так, присчитывая к 7 все единицы числа 5, находим сумму 12.

Чтобы уметь быстро складывать всякие числа, следует запомнить все суммы, которые получаются от сложения двух однозначных чисел.

Замечание. Так как нуль указывает на отсутствие единиц, то 5 + 0 = 5 (если к пяти ничего не прибавить, то останется 5) и 0 + 5 = 5 (если единиц не было, а затем присчитано 5 единиц, то 5 единиц и получится). Вообще, сложение любого числа с нулем или нуля с любым числом всегда дает это самое число.

§ 23. Сложение многозначного числа с однозначным. Пусть требуется сложить 37 и 8. Для этого от 37 отделим 7 единиц и сложим их с 8; получим 15. Эти 15 единиц прибавим к 30; но 15 все равно, что 10 да 5. Прибавив 10 к 30, получим 40; прибавив к 40 еще 5, получим 45.

Можно поступить и так. Заметив, что к 37 надо прибавить 3, чтобы получить 40, отделим 3 единицы от 8 единиц и приложим их к 37; тогда получим 40 и еще 5 единиц, оставшихся от 8, т. е. получим 45.

Следует привыкнуть выполнять эти действия в уме и притом быстро.

Указанные в этом параграфе два приема сложения составляют применение тех предложений, о которых говорится в § 21, как то видно из равенства:

37 + 8 = (30 + 7) + 8 = 30 + (7 + 8) = 30 + 15 = 30 + (10 + 5) = (30 + 10) + 5 = 40 + 5 = 45

или

37 + 8 = 37 + (3 + 5) = (37 + 3) + 5 = 40 + 5 = 45

§ 24. Сложение многозначных чисел. Пусть требуется найти сумму четырех чисел: 13653, 22409, 1608 и 346. Для этого сложим простые единицы всех слагаемых, потом их десятки, затем сотни и т. д. Чтобы при этом не смешать между собой единиц различных разрядов, напишем данные числа одно под другим так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки – под десятками, сотни – под сотнями и т.д.; под последним слагаемым проведем черту:

Пример сложения в столбик

Сложив единицы, получим 26, т. е. 2 десятка и 6 единиц; 2 десятка запомним, чтобы их сложить с десятками данных чисел, а 6 единиц запишем под чертой, под единицами слагаемых. Сложив десятки (вместе с теми двумя десятками, которые получились от сложения единиц), получим 11 десятков. т.е. 1 сотню и 1 десяток; 1 сотню мы запомним., чтобы ее сложить с сотнями, 1 десяток напишем под чертой на месте десятков. От сложения сотен получим 20 сотен, т.е. ровно 2 тысячи; эти 2 тысячи запомним, чтобы их прибавить к тысячам, а под чертой напишем нуль на месте сотен. Продолжаем так действие далее.

Замечание. Если при сложении цифр какого-нибудь столбца (например десятков в данном нами примере) встретится цифра нуль, то на нее не обращают внимания, так как на основании замечания в конце § 22 прибавление нуля не изменяет имевшегося числа единиц.

§ 25. Нуль есть число. Мы видели, что при выполнении сложения среди слагаемых может встретиться нуль; дальше мы видим, что над нулем нам придется выполнять и другие арифметические действия. Поэтому мы теперь условимся считать нуль числом наравне с другими числами; очевидно, что нуль меньше всякого другого числа.

§ 26. Увеличение числа на несколько единиц. Увеличить какое-нибудь число на несколько единиц это значит, приложить к числу эти несколько единиц. Если, например, требуется увеличить 80 на 25, то это значит, что требуется к 80 приложить 5 (получим 105). Таким образом, увеличение числа на несколько единиц выполняется сложением.

§ 27. Изменение суммы с изменением слагаемых. Так как сумма содержит в себе все единицы слагаемых, то очевидно, что

если к какому-либо слагаемому прибавим несколько единиц (а другие слагаемые оставим без изменения), то сумма увеличится на столько же единиц.

Так, 5 + 8 = 13; если к первому слагаемому прибавить 4, то получится (5 + 4) + 8 = 9 + 8 = 17; если прибавить 4 ко второму слагаемому (а первое слагаемое оставить без изменения), то получится:

5 + (8 + 4) = 5 + 12 = 17;

таким образом, от прибавления числа 4 к одному из слагаемых сумма увеличивается на 4 единицы (так как 17 на 4 единицы больше, чем 13).

Если от какого-либо слагаемого отнимем несколько единиц (а другие слагаемые оставим без изменения), то сумма уменьшится на столько же единиц;

если к какому-нибудь слагаемому прибавим несколько единиц, а от другого слагаемого отнимем столько же единиц, то сумма останется без изменения.