Вычитание

§ 28. Что такое вычитание. У ученика было 7 тетрадей; 3 из них он отдал брату; чтобы узнать, сколько тетрадей у него осталось, мы должны от 7 тетрадей отнять 3 тетради (остается 4 тетради).

Действие, состоящее в том, что от одного числа отнимается столько единиц, сколько их содержится в другом данном числе, называется вычитанием.

В нашем примере из числа 7 надо вычесть число 3; получается число 4.

Число, от которого отнимают, называется уменьшаемым; число, которое отнимают, называется вычитаемым; число, получаемое после вычитания, называется разностью. Разность иначе называется остатком.

В нашем примере уменьшаемое 7, вычитаемое 3, разность 4.

Знак вычитания есть – (минус); он ставится между уменьшаемым (слева) и вычитаемым (справа).

Так: 7 – 3 = 4.

Очевидно, что из данного числа можно вычесть всякое число, которое меньше его или равно ему; но ни из какого числа нельзя вычесть число, которое больше его. Поэтому вычитаемое не может быть больше уменьшаемого.

§ 29. Сравнение вычитания со сложением. При производстве вычитания одно число, именно уменьшаемое, разлагается на два числа. Например, если мы, отняв 5 от 9, нашли, что осталось 4, то, значит, мы разложили 9 на два числа: 5 (отнятые единицы) и 4 (оставшиеся единицы). Очевидно, что если эти два числа соединим в одно, то получим то число 9, которое разлагали; значит, уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному с остатком; иначе говоря, уменьшаемое есть сумма, а вычитаемое и остаток – слагаемые.

При сложении слагаемые даются, а сумма отыскивается; при вычислении же даются сумма и одно слагаемое, а другое слагаемое отыскивается.

Значит, число, которое при сложении ищется, – при вычитании дается, и наоборот; поэтому говорят, что вычитание есть действие, обратное сложению.

§ 30. Замечания. 1) Вычитание можно было бы определить сразу как действие, обратное сложению, посредством которого по данной сумме в данному слагаемому отыскивается другое слагаемое. Но в самом начале элементарного изложения арифметики представляется более простым и наглядным определить вычитание как отнимание от уменьшаемого части, равной вычитаемому, а потом уже показать соотношение между вычитанием и сложением (как это сделано в § 29).

2) Действие вычитания всегда возможно и дает единственный результат, если только вычитаемое не более уменьшаемого. Если, например, из a требуется вычесть b, то мы можем выполнить это, отняв от a последовательно одну за другой столько единиц, сколько содержится в b. Отняв одну единицу, получим в остатке единственное число a – 1, непосредственно предшествующее в натуральном ряду числу a; отняв другую единицу, мы опять-таки получим единственное число a – 1 – 1, непосредственно предшествующее числу a – 1, и т. д. Если b < a, то, отняв b единиц, мы получим некоторое (и только одно) число натурального ряда, которое и будет разностью; если b = a, то после отнимания не останется никакого числа, другими словами, остаток будет нуль; наконец, если b > a, то вычитание невозможно.

§ 31. Вычитание однозначного числа. Чтобы без затруднения вычитать всякое число, надо сначала научиться вычитать в уме однозначное число из однозначного и двузначного. Искомая разность легко находится посредством сложения. Например, чтобы узнать, сколько будет 15 без 8, вспомним, какое число при сложении с 8 дает 15; 8 да 7 составляет 15; значит, 15 без 8 будет 7.

Следует привыкнуть выполнять это вычитание в уме и притом быстро.

Замечание. 7 – 0 = 7 (если от 7 единиц ничего не отнять, то останется 7 единиц); вообще, при вычитании нуля из любого числа всегда получается это самое число.

8 – 8 = 0 (если от 8 единиц отнять 8 единиц, то ничего не останется); вообще, разность двух одинаковых чисел всегда равна нулю.

Из нуля нельзя вычесть никакое другое число, потому что все другие числа больше нуля.

§ 32. Вычитание многозначного числа.
Пример: из 60072 вычесть 7345.

Расположим действие так же, как и при сложении:

Пример вычитания в столбик

Будем держаться того же порядка, как и при сложении, т. е. станем вычитать единицы из единиц, десятки и з десятков и т. д. 5 единиц из 2 единиц нельзя вычесть; берем от 7 десятков 1 десяток, он содержит 10 единиц, которые мы присоединяем к 2 единицам, стоящим в уменьшаемом; получается 12 единиц; из них мы вычитаем 5 единиц вычитаемого; в остатке получаем 7 единиц. Теперь переходим к десяткам. Из тех 7 десятков, которые имелись в уменьшаемом, 1 десяток мы уже использовали при вычитании единиц (чтобы не забыть этого, мы над цифрой 7 десятков поставили точку); остается 6 десятков; из них мы вычитаем 4 десятка вычитаемого; в остатке получается 2 десятка. Переходим к сотням. В уменьшаемом сотен нет; обращаемся к тысячам и видим, что их в уменьшаемом тоже нет; поэтому дем дальше – к десяткам тысяч; их в уменьшаемом имеется 6; один из этих 6 десятков тысяч мы берем (в знак чего над цифрой 6 ставим точку); он содержит 10 тысяч; одну из этих тысяч мы берем, она содержит 10 сотен, из которых мы вычитаем 3 сотни вычитаемого и получаем в остатке 7 сотен. У нас осталось еще 9 тысяч; из них мы вычитаем 7 тысяч вычитаемого, получаем 2 тысячи в остатке. Наконец, оставшиеся 5 десятков тысяч уменьшаемого переходят в остаток без изменения, так как из них ничего не вычитается. Таким образом, остаток составляет 52727.

Вот еще примеры на вычитание:

Примеры вычитания в столбик

Вычитание удобнее производить от низших разрядов к высшим потому, что при таком порядке мы в случае надобности всегда можем взять 1 единицу из высших разрядов для раздробления ее в единицы низшего разряда.

§ 33. Как вычесть сумму и как вычесть из суммы. При вычитании многозначного числа в предыдущем параграфе мы вычитали единицы из единиц, десятки из десятков и т.д. При этом мы пользовались следующими правилами.

1) Чтобы вычесть сумму, можно вычесть каждое слагаемое отдельно одно за другим.

Так, чтобы вычесть число 325, т. е. сумму 5 + 20 + 300, можно вычесть отдельно слагаемые 5, 20 и 300.

В общем виде это правило можно выразить таким равенством:

a – (b + c + d + …) = a – b – c – d – … .

2) Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из какого-нибудь одного слагаемого.

Так,

(30 + 20) – 10 = 50 – 10 = 40,

или

(30 + 20) – 10 = (30 – 10) + 20 = 20 + 20 = 40,

или

(30 + 20) – 10 = 30 + (20 – 10) = 30 + 10 = 40.

Вообще:

(a + b + c + …) – m = (a – m) + b + c + … = a + (b – m) + c + … .

Рассматривая вычитаемое как сумму простых единиц, десятков, сотен и т. д., мы вычитаем отдельно единицы, потом десятки, затем сотни и т. д. Чтобы вычесть единицы, мы рассматриваем уменьшаемое как сумму разрядов и вычитаем единицы вычитаемого из одного слагаемого этой суммы, именно из единиц. Если этого сделать нельзя, мы берем один десяток уменьшаемого и, раздробив его в простые единицы, присоединяем эти единицы к единицам уменьшаемого и потом вычитаем единицы вычитаемого. Если десятков в уменьшаемом не окажется, мы берем 1 сотню, раздробляем ее в десятки и т.д.

§ 34. Проверка сложения. Чтобы убедиться, что действие сделано верно, его надо проверить. Для проверки сложения обыкновенно складывают слагаемые во второй раз в ином порядке, чем в первый. например, производя сложение снизу вверх. Если при втором сложении получается та же сумма, то весьма вероятно, что сложение произведено верно.

С другой стороны, можно проверить сложение и вычитанием; для этого надо вычесть из полученной суммы одно из слагаемых; если разность окажется равной сумме остальных слагаемых, то можно считать вероятным, что действие сделано верно.

§ 35. Проверка вычитания. Так как уменьшаемое есть сумма, а вычитаемое и остаток слагаемые, то для проверки вычитания достаточно сложить вычитаемое с остатком; если получится число, равное уменьшаемому, то весьма вероятно, что действие сделано верно.

С другой стороны, так как вычитаемое и остаток – слагаемые, а уменьшаемое – их сумма и так как от перестановки слагаемых сумма не меняется, то вычитание можно проверить и вычитанием; для этого надо из уменьшаемого вычесть остаток; если при этом получится вычитаемое, то можно считать вероятным, что действие произведено верно.

§ 36. Уменьшение числа на несколько единиц. Уменьшить какое-нибудь число на несколько единиц значит, вычесть из него эти несколько единиц. Так, если требуется 100 уменьшить на 30, то это значит, что требуется от 100 отнять 30 (получим 70).

§ 37. Сравнение двух чисел. Желая сравнить между собой два числа, мы задаемся вопросом, на сколько единиц одно число больше или меньше другого. Чтобы узнать это, надо из большего числа вычесть меньшее. Например, чтобы узнать, на сколько 20 меньше 35 (или на сколько 35 больше 20), надо из 35 вычесть 20; тогда найдем, что 20 меньше 35 (или 35 больше 20) на 15 единиц.

§ 38. Изменение разности с изменением данных чисел может быть выведено как следствие изменения суммы, так как уменьшаемое есть сумма, а вычитаемое и разность слагаемые.

Поэтому,
если к уменьшаемому прибавим несколько единиц, то разность увеличится на столько же единиц;
если от уменьшаемого отнимем несколько единиц, то разность уменьшится на столько же единиц;
если к вычитаемому прибавим несколько единиц, то разность уменьшится на столько же единиц;
если от вычитаемого отнимем несколько единиц, то разность увеличится на столько же единиц.

Полезно обратить особое внимание на то, что разность не изменится, если мы уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличим или уменьшим на одно и то же число.

Так,

(11 + 6) – (3+ 6) = 11 – 3 = 8.

§ 39. Как вычесть разность. Пусть требуется из 30 вычесть разность 12 – 8. Вместо того, чтобы сначала найти эту разность (она будет 4) и затем ее вычесть из 30 (получим 26), мы можем поступить так: увеличим на 8 и уменьшаемое 30 и вычитаемое 12 – 8, тогда вместо 30 будем иметь 38, а вместо разности 12 – 8 получим 12. Теперь из 38 вычитаем 12; найдем 26. Это и будет искомое число, так как мы увеличили и уменьшаемое и вычитаемое на одно и то же число, отчего разность не изменится.

Можно еще поступить и так: вычтем из 30 не 12 без 8, а прямо 12 (получим 18). Но мы вычли больше, чем требовалось, на 8, от этого осталось меньше, чем следует, на 8; значит, если увеличить 18 на 8, то найдем надлежащий остаток 26. Таким образом,

чтобы вычесть разность, можно прибавить вычитаемое и затем отнять уменьшаемое; или же отнять уменьшаемое и затем прибавить вычитаемое. (Если это возможно, т. е. если уменьшаемое не больше того числа, из которого требуется вычесть разность.)

В общем виде это правило можно выразить такими равенствами:

a – (b – c) = a + c – b; a – (b – c) = a – b + c.