Обоснование теории периодических дробей

§ 185. Замечание. Предыдущее изложение обращения периодических дробей в обыкновенные не вполне строго; в нем, между прочим, допускается (§ 182), что если каждое слагаемое увеличится в несколько раз, то и сумма увеличится во столько же раз. Предложение это, вполне обоснованное для сумм с конечным числом слагаемых, не может быть применено без особого доказательства к суммам с бесконечным числом слагаемых (каковы все периодические бесконечные дроби).

Строгая теория периодических дробей основана на понятии о пределе. Изложим вкратце эту теорию.

§ 186. Предел последовательности чисел. Пусть дана бесконечная последовательность чисел a1, a2, a3, …, an, … . Условимся называть число a пределом этой последовательности, если разность an – a по абсолютной величине становится как угодно малой для всех достаточно больших n. Так, последовательность чисел


становится как угодно малой для всех достаточно больших n.

§ 187. Если в бесконечной десятичной дроби мы возьмем несколько первых десятичных знаков, а остальные отбросим, то получится конечная десятичная дробь, которую мы будем называть отрезком данной бесконечной дроби.

Так, дроби

0,8; 0,83; 0,833; 0,8333; и т. д.

служат отрезками бесконечной периодической дроби 0,8(3). Вообще, каждая бесконечная десятичная дробь имеет бесконечную последовательность отрезков; при этом каждый из этих отрезков есть конечная десятичная дробь.

Теорема 1. Обыкновенная дробь, обращающаяся в бесконечную десятичную, есть предел последовательности отрезков этой бесконечной десятичной дроби.

Доказательство. В самом деле, мы знаем, что первый (т. е. заканчивающийся на первом десятичном знаке) отрезок полученной бесконечной десятичной дроби отличается от данной простой дроби


взятый с достаточно большим числом знаков, будет отличаться от данной простой дроби как угодно мало; но по определению предела это и означает,что данная простая дробь есть предел последовательности отрезков той бесконечной десятичной дроби, в которую она разлагается.

§ 188. Теорема 2. Если две обыкновенные дроби равны между собой, то они обращаются в одну и ту же десятичную дробь (конечную или бесконечную).

§ 189. Теорема 3 (обратная предыдущей). Если две обыкновенные дроби обращаются в одну и ту же десятичную дробь (конечную или бесконечную), то они равны.
§ 190. Теорема 4. Последовательность отрезков чистой периодической дроби имеет предел, равный обыкновенной дроби, у которой числитель есть разность, между числом, стоящим до второго периода, и числом, стоящим до первого периода, а знаменатель – цифра 9, написанная столько раз подряд, сколько цифр в периоде.

Доказательство. Возьмем, например, чистую периодическую дробь 7,2323.... Обозначим буквой Хn отрезок этой дроби, включающий в себя n периодов, т. е. положим:

Из последнего равенства видно, что по мере увеличения числа периодов n разность между постоянным числом (723 – 7): 99 и числом Xn делается и остается меньше любого данного числа (как бы мало это число ни было); а это значит, что


Из способа получения этого предела видно, что 723 есть число, стоящее до второго периода, а 7 – число, стоящее до первого периода; значит, числитель удовлетворяет тому, что говорится в теореме. Знаменатель также удовлетворяет теореме, .так как цифра 9 повторяется столько раз, сколько цифр в периоде.

Заметим, что целое число периодической дроби мы могли бы от нее отделить, т. е. писать так:

§ 191. Теорема 5. Последовательность отрезков сметанной периодической дроби имеет предел, равный обыкновенной дроби, у которой числитель есть разность между числом, стоящим до второго периода, и числом, стоящим до первого периода, а знаменатель – цифра 9, написанная столько раз подряд, сколько цифр в периоде, со столькими нулями на конце, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Доказательство. Возьмем смешанную периодическую дробь, например, такую:

8,52(375),

и положим снова:

§ 192. Замечание. Теоремы 4 и 5 показывают, что последовательность отрезков каждой периодической десятичной дроби имеет пределом некоторую обыкновенную дробь. Отсюда следует на основании теоремы 1, что если вообще существует такая обыкновенная дробь, которая разлагается в данную периодическую дробь, то эта обыкновенная дробь равна пределу данной периодической дроби.

Однако из предшествующих теорем еще не следует, что для всякой периодической дроби найдется такая обыкновенная дробь, которая в нее разлагается. И на самом деле, не для всякой периодической дроби это верно, как мы сейчас увидим.

§ 193. Теорема 6. Если период данной периодической дроби состоит из одной цифры 9, то не существует такой обыкновенной дроби, которая разлагалась бы в данную периодическую дробь. Во всех других случаях та обыкновенная дробь, которая служит пределом данной последовательности отрезков периодической дроби, разлагается в нее.

Это означает, что, написав любую (чистую или смешанную) периодическую дробь, только бы ее период не состоял из одной девятки, мы всегда можем найти обыкновенную дробь, разлагающуюся в данную периодическую дробь; напротив, периодическая дробь, имеющая периодом цифру 9, не может служить разложением никакой обыкновенной дроби.

Доказательство. 1) Пусть дана любая периодическая дробь с периодом 9, например 5, 28(9). Если бы существовала обыкновенная дробь, которая при разложении в десятичную давала 5,28(9), то, как мы знаем, эта обыкновенная дробь должна была бы равняться пределу последовательности отрезков данной периодической дроби; но для дроби 5, 28(9) этот предел есть согласно теореме 5


т. е. дробь, знаменатель которой не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5; а такая обыкновенная дробь, как мы знаем, разлагается в конечную, а не периодическую десятичную дробь. Мы провели доказательство на примере (для наглядности), но приведенное нами рассуждение, очевидно, остается верным для любой периодической дроби с периодом 9.

2) Пусть теперь дана периодическая дробь с периодом, состоящим либо из нескольких цифр, либо из одной цифры, отличной от 9, например 7,(23). При доказательстве теоремы 4 мы полагали:

§ 194. Следствия. 1) Знаменатель обыкновенной дроби, обращающейся в чистую периодическую, после сокращения се содержит множителей 2 и 5, так как согласно теореме 4 он всегда может быть представлен числом, оканчивающимся цифрой 9 и потому ее может делиться ни на 2, ни на 5, тем более не может он содержать этих множителей после сокращения дроби.

2) Знаменатель обыкновенной дроби обращающейся в смешанную периодическую, содержит множитель 2, или 5, или тот и другой вместе.

Действительно, этот знаменатель согласно теореме 5 может быть представлен числом, которое оканчивается нулем, и потому делится и на 2 и на 5. Оба эти множителя могли бы сократиться с числителем только тогда, если бы числитель оканчивался нулем. Но числитель получается от вычитания числа, стоящего до первого периода, из числа, стоящего до второго периода; так как последняя цифра периода не может оказаться одинаковой с последней цифрой до периода (если период начат с надлежащего места), то числитель не может оканчиваться нулем. Поэтому и после сокращения (если такое возможно) в знаменателе останется либо множитель 2, либо 5, либо и то и другое вместе.

3) Обыкновенная дробь, знаменатель которой не содержит множителей 2 и 5, обращается в чистую периодическую дробь.

Например:

Действительно: 1) такая дробь должна обратиться в какую-нибудь периодическую (§ 180); 2) эта периодическая дробь не может быть смешанной, потому что в смешанную периодическую дробь, как мы видели,может обратиться только такая обыкновенная дробь, знаменатель которой содержит множители 2 и 5. Следовательно, данная дробь должна обратиться в чистую периодическую.

4) Обыкновенная дробь, знаменатель которой после сокращения., вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5 (или оба), обращается в смешанную периодическую дробь.

Например:


Действительно: 1) такая дробь должна обратиться в какую-нибудь периодическую; 2) эта периодическая дробь не может быть чистой, потому что чистая периодическая дробь, как мы видели, происходит только от такой обыкновенной, знаменатель которой не содержит множителей 2 и 5. Следовательно, данная дробь должна обратиться в смешанную периодическую дробь.

Математика: