Сокращение дроби

§ 129. Что называется «сокращением» дроби. Сокращением дроби называется замена ее другой, равной ей, дробью с меньшими членами путем деления числителя и знаменателя па одно и то же число.

Конечно, сократить можно только такую дробь, у которой члены имеют какой-нибудь общий делитель, кроме единицы; например, дробь 8/12 можно сократить, а дробь 9/20 нельзя, так как у первой дроби числитель и знаменатель имеют общий делитель помимо единицы, именно 4 (по сокращению получается дробь 2/3), а числитель и знаменатель второй дроби не имеют никакого общего делителя, кроме единицы.

Дробь, которая не может быть сокращена, называется несократимой.

§ 130. Два способа сокращения. Первый способ (последовательное сокращение) состоит в том, что, руководствуясь признаками делимости, определяют, не делятся ли числитель и знаменатель данной дроби на какой-нибудь общий делитель (кроме единицы); если такой делитель существует, то на него дробь сокращают; полученную после сокращения дробь, если можно, сокращают таким же путем снова и такое последовательное сокращение продолжают до тех пор, пока не получится дробь несократимая.

Например,

последовательное сокращение дроби

Для памяти вначале полезно надписывать над дробью то число, на которое сокращают. Потом, при некотором навыке, эту запись обычно опускают.

Второй способ (полное сокращение) состоит в том, что отыскивают наибольший общий делитель членов дроби и, если он окажется не единицей, делят на него эти члены. Например, пусть требуется сократить дробь 391/527. Для этого находим наибольший общий делитель чисел 391 и 527 (он равен 17) и на него сокращаем:

Полное сокращение дроби

В этом случае после сокращения получается дробь несократимая. Действительно, наибольший общий делитель членов дроби должен содержать в себе все общие простые множители, входящие в состав этих членов; поэтому когда на него разделим числитель и знаменатель, то полученные частные уже не могут содержать в себе никаких общих множителей (кроме единицы) и, следовательно, не будут иметь никаких общих делителей.

§ 131. О несократимых дробях. Теорема. Если данная дробь равна некоторой несократимой дроби, то члены данной дроби получаются из соответственных членов этой несократимой дроби умножением на одно и то же целое число.

Положим, что

причем допустим, что первая дробь несократима, т.е. что члены ее a и b не имеют общих делителей, кроме единицы. Требуется доказать, что a1 кратно a и b1 кратно b и притом в одинаковое число раз. Для доказательства умножим оба члена второй дроби на b, а первой – на b1; так как величины дробей от этого не изменятся, то получим равенство

откуда находим:

ab1 = a1b.

Произведение ab1 делится на a; значит, и произведение a1b тоже делится на a, но b, по условию, есть число, взаимно простое с a; значит, надо, чтобы a1 делилось на a (§ 88). Обозначив частное от деления a1 на a буквой m, можем положить: a1 = am, после чего последнее равенство дает:

ab1 = amb.

Разделив обе части этого равенства на a, получим:

b1 = mb.

Итак, оказывается, что a1 = am и b1 = bm, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Две несократимые дроби равны только тогда, когда у них равны числители и равны знаменатели.

Следствие 2. Всякая дробь равна одной и только одной несократимой дроби. В самом деле, второй способ сокращения (§ 130) показывает, что всякая дробь равна некоторой несократимой дроби; если бы она равнялась двум таким дробям, то эти две несократимые дроби были бы равны друг другу, что невозможно в силу следствия 1. Значит, данная дробь действительно равна только одной несократимой дроби.