Пропорциональная зависимость величин

§ 202. Величины прямо пропорциональные. Пусть 3 м сукна стоят 360 рублей, тогда вдвое большее количество сукна, т. е. 6 м, стоят вдвое больше, т. е. 360 · 2 = 720 рублей; втрое большее количество сукна., т.е. 9 м, стоят втрое больше, т.е. 360 · 3 = 1080 (рублей), и т. д.

Вообще, если данное количество товара увеличить в любое число раз, то и стоимость его увеличится во столько же раз; если данное количество товара уменьшить в несколько раз, то и стоимость его уменьшится во столько же раз.

Если две величины связаны между собой так, что увеличение (уменьшение) одной из них в несколько раз необходимо влечет за собой увеличение (уменьшение) другой во столько же раз, то такие две величины называются прямо пропорциональными.

Так, количество товара и стоимость его – прямо пропорциональные величины. Точно так же:

вес однородного тела (например вес куска железа) прямо пропорционален его объему;

длина пути, проходимого равномерно движущимся телом (например поездом железной дороги), прямо пропорциональна продолжительности движения;

величина дроби при неизменном знаменателе прямо пропорциональна ее числителю и т. п.

Если в одном отрезе сукна содержится 4 м, а в другом –

Таким образом, если две величины прямо пропорциональны, то отношение любых двух значений первой величины равно отношению соответствующих значений второй величины.

§ 203. Задача. 8 м сукна стоят 960 рублей; сколько стоят 15 м того же сукнами

1) Решение способом приведения к единице.

Стоимость сукна пропорциональна числу метров его; поэтому 1 м стоит в 8 раз менее, чем 8 м, а 15 м стоят в 15 раз более, чем 1 м; но

8 стоят 960 рублей,

значит

Способ, которым мы решили эту задачу, называется приведением к единице, так как, чтобы узнать стоимость 15 м сукна, мы сначала нашли стоимость 1 м.

2) Решение задачи посредством пропорции.
Обозначив через x стоимость 15 м сукна, по правилу § 202 будем иметь пропорцию:

x : 960 = 15 : 8,

откуда

§ 204. Выражение пропорциональной зависимости формулой. Пусть мы имеем какие-нибудь две пропорциональные величины A и B и положим, что, когда величина A равна единице (величин этого рода), тогда другая величина B становится равной k единицам (величин этого другого рода). Если теперь допустим, что величина A получит некоторое значение x единиц, тогда значение величины B будет уже не k единиц, а какое-нибудь другое число, которое мы обозначим через y. Выразим это для ясности такой табличкой:

Так как по условию величины A и B пропорциональны, то отношение 1 : x должно быть равно отношению k : y. Следовательно, мы можем написать пропорцию:

1 : x = k : y

из которой находим:

y = kx

По этой формуле мы легко можем найти число y, соответствующее любому значению x, если только известно число k. Если, например, x =


Таким образом,
если две величины пропорциональны, то зависимость между ними может быть выражена формулой: y = kx, в которой y и x переменные числа, выражающие соответствующие друг к другу значения взятых величин, а k – постоянное число, равное тому частному значению y, которое соответствует значению x = 1. Число это принято называть коэффициентом пропорциональности (y относительно x). Например, применяя эту формулу к нашей задаче (§ 203), мы можем написать:

стоимость сукна = k · количество сукна,

где k есть величина стоимости, когда количество сукна равно единице. Значит, если стоимость выражается в рублях, а количество в метрах, то k есть цена 1 м (120 рублей).

§ 205. Величины обратно пропорциональные. Рассмотрим такую задачу: 6 человек рабочих оканчивают некоторую работу в 18 дней. Во сколько дней окончат, ту же работу 9 человек, работая так же успешно, как и первые?

В этой задаче тоже говорится о двух величинах: о количестве рабочих и о продолжительности работы их. Эти величины зависят одна от другой, потому что с изменением одной изменяется и другая. Но эта зависимость иная, чем в задаче § 203.

Там при увеличении одной величины в 2, 3, и т. д. раза другая величина увеличивалась во столько же раз. Здесь же, если вдвое увеличить число рабочих, продолжительность той же работы вдвое уменьшится;напротив, если, например, число рабочих втрое уменьшить, то продолжительность данной работы, очевидно, втрое увеличится.

Если при увеличении (уменьшении) одной из двух величин в несколько раз другая величина уменьшается (увеличивается) во столько же раз, то такие две величины называются обратно пропорциональными.

Так, число рабочих и продолжительность данной работы – величины обратно пропорциональные.

Точно так же:

вес товара, который можно купить на данную сумму денег (например на 100 рублей), обратно пропорционален цене единицы веса этого товара;

время, в течение которого проходится данный путь движущимся равномерно телом, обратно пропорционально скорости движения;

величина дроби при неизменном числителе обратно пропорциональна ее знаменателю и т. п.

Если в одной бригаде 6 рабочих, а в другой 9 рабочих, т. е.

Таким образом, если две величины обратно пропорциональны, то отношение любых двух значений первой величины равно обратному отношению соответствующих значений второй величины.

§ 206. Перейдем теперь к решению задачи, поставленной в начале § 205.

1) Решение способом приведения к единице.

Число дней обратно пропорционально числу рабочих; поэтому 1 человек окончит работу в число дней, большее в 6 раз, чем число дней, в которое окончат ту же работу 6 человек; а 9 человек окончат эту работу в число дней, меньшее в 9 раз, чем число дней, в которое ее окончит 1 человек. Но 6 человек окончат работу в 18 дней; значит, 1 человек окончит ее в 18 · 6 (= 108 дней), а 9 человек окончат ту же работу в = 12 (дней).

2) Решение посредством пропорции. Обозначая через х неизвестное число дней, в которое окончат работу 9 рабочих, будем по правилу § 205 иметь пропорцию:

Замечание. Для того чтобы две зависящие друг от друга величины были пропорциональны (прямо или обратно), недостаточно только того обстоятельства, что одна из этих величин увеличивается, когда и другая увеличивается (для прямой пропорциональности), или что одна величина увеличивается, когда другая уменьшается (для обратной пропорциональности). Например, если какое-нибудь слагаемое увеличится, то и сумма увеличится; но было бы ошибочно сказать, что сумма прямо пропорциональна слагаемому, так как если увеличим слагаемое, положим, в 3 раза, то сумма хотя и увеличится, но не в 3 раза. Подобно этому, нельзя, например, сказать, что разность двух чисел обратно пропорциональна вычитаемому, так как если увеличится вычитаемое, положим, в 2 раза, то разность хотя и уменьшится, но не в 2 раза. Для пропорциональности нужно, чтобы увеличение и уменьшение обеих величин происходило в одинаковое число раз.

§ 207. Выражение обратной пропорциональной зависимости формулой. Пусть A и B будут две какие-нибудь обратно пропорциональные величины и положим, что когда величина A равна единице (величин этого рода), тогда другая величина B будет равна k единицам (величин этого другого рода). Если допустим, что величина A примет вместо единицы какое-нибудь другое значение x единиц, тогда величина B примет вместо прежнего значения (k единиц) некоторое значение y. Для ясности запишем это в виде такой таблички:

Так как величины A и B по условию обратно пропорциональны, то отношение 1 : x равно обратной величине отношения k : y, т.е. отношению y : k. Поэтому мы можем написать пропорцию:

1 : x = y : k,

откуда находим:

(или xy = k).

Таким образом,
если две величины обратно пропорциональны, то зависимость между ними может быть выражена формулой: (или, иначе, формулой xy = k), где x и y – какие-нибудь соответствующие друг другу значения этих величин, а k – число постоянное, равное значению y при x = 1.

По этой формуле мы можем вычислить величину y для всякого данного значения x, если только известно число k. Так, если x =

Для нашей задачи (§ 205) о продолжительности работы постоянное число k есть число дней, соответствующее одному рабочему (108 дней); тогда 2 (рабочих) окончат работу в 108/2 = 54 (дня), 3 (рабочих) в 108/3 = 36 (дней) и т. д.

§ 208. Пример задачи на пропорциональные величины, когда этих величин более двух.

Задача. На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 часов ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 часов в день?

Расположим данные этой задачи так:

Мы видим, что и запас керосина, и число керосинок, и время их ежедневного горения в новых условиях изменены; учесть сразу влияние всех этих изменений трудно; поэтому мы сначала допустим, что изменяется какое-нибудь одно из данных чисел, например запас керосина, а другие остаются неизменными. Мы получаем такую задачу: на сколько дней хватит 216 л керосина, если те же 5 керосинок будут горсть по-прежнему по 6 часов в день? Если при этих условиях 120 л хватает на 24 дня, то 216 л хватит на (24 · 216)/120 дней, так как число дней, очевидно, прямо 120 пропорционально количеству сгоревшего керосина. Мы можем теперь составить такую запись:

Теперь будем изменять число керосинок, оставляя неизмененными запас керосина (216 л) и время ежедневного горения (6 часов). Очевидно, что если вместо пяти керосинок будет гореть одна, то того же запаса керосина при том же времени ежедневного горения хватит на число дней, в 5 раз большее, а если вместо одной керосинки будет гореть 9, то его хватит на число дней, в 9 раз меньшее (число дней обратно пропорционально числу керосинок); поэтому мы можем составить такую запись:

Нам остается изменить число часов ежедневного горения. Очевидно, что при данном запасе керосина и данном числе керосинок число дней увеличится (уменьшится) во столько раз, во сколько раз мы уменьшим (увеличим) число часов ежедневного горения. Другими словами, число дней горения и число часов ежедневного горения обратно пропорциональны. Поэтому, переходя от 6 часов к 8 часам ежедневного горения, мы должны полученное в последней записи число дней умножить на 6 и разделить на 8. Это дает такую запись:

Математика: