Задачи на пропорциональное деление

§ 209. Задача 1. Разделить 84 на 3 части пропорционально ряду чисел: 7, 5 и 2.

Это надо понимать так: разделить 84 на такие три части, чтобы первая часть относилась к 7, как вторая к 5 и как третья к 2.

Назовем искомые части буквами x1, x2, x3. В задаче требуется, чтобы эти части удовлетворяли следующим пропорциям:


т. е. мы приходим к следующему правилу:

Правило. Чтобы разделить число на части пропорционально данным числам, надо разделить его на сумму этих чисел и частное последовательно умножить на каждое из этих чисел.

§ 210. Задача 2. Разделить 968 на 4 части пропорционально ряду чисел: .

Прежде всего заменим данный ряд дробных чисел рядом целых чисел. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю и обратим смешанную дробь в неправильную:

Примечание. Можно решить задачу 2 и прямо по правилу, указанному при задаче 1; однако для упрощения вычислений удобнее сначала заменить последующие члены отношений целыми числами, как это сделано в тексте.

§ 211. Задача 3. Разделить 125 на такие 4 части, чтобы первая часть относилась ко второй, как 2 : 3, вторая к третьей, как 3 : 5, а третья к четвертой, как 5 : 6.

Обозначая искомые части через x1, x2, x3, x4, имеем:

x1 : x2 = 2 : 3, x2 : x3 = 3 : 5, x3 : x4 = 5 : 6;

переставляя в этих пропорциях средние члены, находим:

x1 : 2 = x2 : 3, x2 : 3 = x3 : 5, x3 : 5 = x4 : 6,

или


после чего задача решается, как задача 1.

§ 212. Задача 4. Разделить 125 на такие 4 части, чтобы первая часть относилась ко второй, как 2 : 3, вторая к третьей, как 4 : 5, а третья к четвертой, как 6 : 11.

Эта задача по виду похожа на задачу 3. Однако есть существенная разница между этими задачами. В задаче 3 отношения 2 : 3, 3 : 5 и 5 : 6 таковы, что последующий член первого отношения равен предыдущему члену второго, а последующий член второго отношения равен предыдущему члену третьего. Вследствие этого можно сказать, что в первой задаче требуется 125 разделить на 4 части пропорционально ряду чисел 2, 3, 5, 6. Значит, эта задача ничем не отличается от задачи 1.

Во второй задаче отношения между частями 2 : 3, 4 : 5 и 6 : 11 таковы, что последующий член одного отношения не равен предыдущему члену следующего отношения. Однако и этот случай можно решать рассуждением, подобным предыдущему.

Обозначив искомые части буквами x1, x2, x3 и x4, мы можем написать следующие три пропорции:

x1 : x2 = 2 : 3; x2 : x3 = 4 : 5; x3 : x4 = 6 : 11.

Переставляя средние члены в написанных пропорциях, мы находим:

x1 : 2 = x2 : 3, (1)
x2 : 4 = x3 : 5, (2)
x3 : 6 = x4 : 11; (3)

из пропорции (2) мы находим:


после чего задача решается,как задача 2.

§ 213. Задача 5. Разделить число a обратно пропорционально числам m, n и p.

Это значит, что число a требуется разделить на части, прямо пропорциональные обратным величинам чисел m, n и p, т. е. прямо пропорциональные числам . Обозначая искомые части через x1, x2 и x3, имеем поэтому:


т. е. если числа x1, x2, x3 обратно пропорциональны числам m, n, p, то отношение x1 к x2 равно отношению n к m (а не m к n, как при прямой пропорциональности); точно так же отношение x2 к x3 равно отношению p к n (а не n к p, как при прямой пропорциональности).

§ 214. Пример более сложной задачи на пропорциональное деление. За переписку рукописи уплачено 123 рубля. Переписка производилась тремя машинистками; первая работала 8 часов, переписывая по 6 страниц в час; вторая работала 6 часов, переписывая по 10 страниц в час; третья работала 7 часов, переписывая по 8 страниц в час. Сколько заработала каждая машинистка?

Если бы производительность труда всех трех машинисток была одинакова, то заработанную сумму надо было бы распределить пропорционально времени их работы. С другой стороны, если бы все они работали одинаковое число часов, то заработок надо было бы распределить пропорционально производительности их труда. Но на самом деле и время работы и производительность труда для всех трех машинисток различны. Поэтому для решения задачи мы рассуждаем так. Первая машинистка, работая 8 часов, переписывала по 6 страниц в час и, следовательно, всего переписала 6 · 8 (страниц); точно так же вторая переписала 10 · 6 (страниц) и третья 8 · 7 (страниц). Поэтому общая сумма заработка, т.е. 123 рубля, должна быть разделена пропорционально произведениям 6 · 8, 10 · 6 и 8 · 7, т.е. пропорционально числам 48, 60 и 56, или по сокращении, числам 12, 15 и 14. Обозначив искомые числа через x1, x2 и x3, находим поэтому:

Математика: