Пропорции

§ 195. Пропорции. Пропорцией называется равенство двух отношений. Так, равенства

Пропорции

Члены каждого из двух отношений, составляющих пропорцию, могут быть числами либо отвлеченными (как в первых двух примерах), либо именованными одного и того же наименования (как в третьем примере). В последнем случае вполне допустимо, что члены первого отношения имеют одно наименование (например килограммы), а члены второго отношения - совсем другое (например метры); при этом каждое из двух отношений есть число отвлеченное, и пропорция представляет собой равенство этих двух отвлеченных чисел.

Каждая пропорция, очевидно, имеет два предыдущих члена и два последующих. Члены отношений, составляющих пропорцию, называются также членами пропорции. В пропорции

3 : 4 = 9 : 12

члены 3 и 12 называются крайними, члены 4 и 9 – средними. Каждый из членов пропорции называют четвертым пропорциональным к трем другим членам.

§ 196. Основное свойство пропорций. В этом параграфе мы будем говорить только о таких пропорциях, все члены которых — отвлеченные числа.

Рассмотрим пропорцию

помножим каждое из двух равных отношений на одно и то же число 4 · 12, т. е. на произведение последующих членов; в результате получаются опять равные числа:


Это равенство показывает, что

произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Но легко убедиться, что и обратно, четыре числа, выбранные так, что произведение двух из них равно произведению двух других, всегда являются членами пропорции.

В самом деле, возьмем, например, равенство

4 · 15 = 3 · 20;

разделив обе его части на произведение 15 · 3, находим после сокращения:


мы могли бы делить обе части данного равенства и на другие произведения, например на 4 · 3, 4 · 20 или 15 · 20, и получить, таким образом, несколько различных пропорций.

Единственное исключение из этого правила мы имеем в том случае, когда в одном из двух произведений (или в обоих) оба множителя -- нули, например 0 · 5 = 0 · 0; в этом случае из данных чисел, очевидно, пропорции составить нельзя, потому что в такой пропорции по крайней мере один из последующих членов должен был бы быть нулем, что, как мы знаем, недопустимо.

§ 197. Следствия основного свойства. 1) Каждый крайний член пропорции равен произведению средних, деленному на другой крайний, и
каждый средний член пропорции равен произведению крайних, деленному на другой средний.

Это дает нам возможность находить неизвестный член пропорции, если остальные 3 члена ее известны; например, из пропорции

10 : х = 45 : 20,

где через x обозначен неизвестный средний член пропорции, находим

2) Перестановки членов пропорции. В каждой пропорции можно переставить: 1) средние члены, 2) крайние члены и 3) крайние на место средних и наоборот. От таких перестановок пропорция не нарушится, потому что не нарушится равенство между произведениями крайних и средних членов. Пусть, например, имеем пропорцию:

1) 4 : 7 = 12 : 21.

Переставив в ней средние члены, получим:

2) 4 : 12 = 7 : 21.

Переставим в каждой из этих пропорций крайние члены; тогда получим еще две пропорции:

3) 21 : 7 = 12 : 4; 4) 21 : 12 = 7 : 4.

Наконец, переставим в каждой из полученных четырех пропорций средние на место крайних и наоборот, тогда получим еще четыре пропорции:

5) 7 : 4 = 21 : 12; 7) 7 : 21 = 4 : 12;
6) 12 : 4 = 21 : 7; 8) 12 : 21 = 4 : 7.

Можно было бы в каждой из этих восьми пропорций переставить отношения, т. е. поставить второе отношение первым, а первое вторым, но от такой перестановки не получится новой пропорции, в чем легко убедиться непосредственно. Если, например, в пропорции 5 переставим отношения, то получим не новую пропорцию, а пропорцию 4. Следовательно, путем всевозможных перестановок можно получить вместо одной пропорции восемь пропорций.

3) Проверка пропорции. На основании того же основного свойства, чтобы проверить пропорцию, достаточно убедиться, что в ней произведение крайних членов равно произведению средних. Например, пропорция 4 : 7 = 868 : 1519 верна, так как 1519 · 4 = 868 · 7.

§ 198. Среднее геометрическое. Возьмем пропорцию, в которой средние члены одинаковы, например:

36 : 12 = 12 : 4.

Повторяющийся член такой пропорции называется средним геометрическим числом двух остальных членов пропорции. Так, 12 есть среднее геометрическое 36 и 4.
Таким образом, если требуется найти среднее геометрическое двух чисел a и b, обозначив его буквой x, мы можем написать пропорцию:

a : x = x : b,

откуда

x2 = ab.

Значит, среднее геометрическое двух данных чисел есть такое третье число, квадрат которого равен, произведению данных чисел. (Следовательно, среднее геометрическое двух чисел равно квадратному корню из произведения данных чисел.)

§ 199. Среднее арифметическое. Средним арифметическим нескольких данных чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число их. Например, среднее арифметическое четырех чисел: 10, 2, 8, 12 равно


Среднее арифметическое обладает тем свойством, что если при сложении данных чисел мы заменим каждое из них средним арифметическим, то от этой замены сумма не изменится. Так, сумма чисел 10, 2, 8 и 12 равна 32 и сумма 8 + 8 + 8 + 8 также равна 32.

Положим, например, что производительность фабрики в течение первых четырех месяцев текущего года, повысилась: в январе на 10 000 рублей, в феврале на 2 000 рублей, в марте на 8 000 рублей и в апреле на 12 000 рублей. Тогда можно сказать, что среднее повышение производительности за эти 4 месяца составляет 8 000 рублей в месяц. Это надо понимать так, что производительность фабрики за все 4 месяца оказалась такая же, какая была бы, если бы она повышалась в каждый месяц одинаково, именно на 8 000 рублей.

В подобном же смысле говорят часто о среднем доходе, о средней скорости движения, о средней плотности населения и т. п. Во всех таких выражениях подразумевается, что речь идет о среднем арифметическом.

§ 200. Производные пропорции. Из одной пропорции можно получить несколько других пропорций, называемых производными пропорциями, основываясь на следующих соображениях.

Возьмем какое-нибудь отношение, например 7 : 21. Если к предыдущему его члену приложим последующий, а последующий оставим без изменения, то получим новое отношение (21 + 7) : 7, которое, очевидно, больше прежнего на 1 единицу. Если же из предыдущего члена вычтем последующий (если это возможно, как в нашем примере), а последующий оставим без изменения, то получим новое отношение (21 – 7) : 7, которое меньше прежнего на 1 единицу.

Заметив это, возьмем какую-нибудь пропорцию:

21 : 7 = 30 : 10

и составим из нее новую пропорцию таким образом:

(21 + 7) : 7 = (30 + 10) : 10. (1)

Эта пропорция верна, потому что каждое отношение в ней больше отношений данной пропорции на одно и то же число, именно на 1 единицу. Составленную нами производную пропорцию можно высказать так:

сумма членов первого отношения относится к его последующему члену, как сумма членов второго отношения относится к его последующему члену.

Составим теперь из данной пропорции такую:

(21 – 7) : 7 = (30 – 10) : 10. (2)

Эта пропорция верна, потому что каждое отношение в ней меньше отношений данной пропорции на одно и то же число, именно на 1 единицу. Составленную нами вторую производную пропорцию можно высказать так:

разность членов первого отношения относится к его последующему члену, как разность членов второго отношения относится к его последующему члену.

Переставляя члены этих двух производных пропорций, можно получить еще другие производные пропорции. Так, переставим средние члены в первой производной пропорции и в данной

(21 + 7) : (30 + 10) = 7 : 10;
21 : 30 = 7 : 10.

В этих двух пропорциях вторые отношения одинаковы, значит, первые отношения должны быть равны:

(21 + 7) : (30 + 10) = 21 : 30.

Переставив средние члены, получим:

(21 + 7) : 21 = (30 + 10) : 30. (3)

Эту третью производную пропорцию можно высказать так:
сумма членов первого отношения относится к его предыдущему члену, как сумма членов второго отношения относится к его предыдущему члену.

Переставим средние члены во второй производной пропорции и в данной получим:

(21 – 7) : (30 – 10) = 7 : 10;
21 : 30 = 7 : 10;

откуда

(21 – 7) : (30 – 10) = 21 : 30,

или

(21 – 7) : 21 = (30 – 10) : 30. (4)

Эту четвертую производную пропорцию можно высказать так:

разность членов первого отношения относится к его предыдущему члену, как разность членов второго отношения относится к его предыдущему члену.

Переставив средние члены в первой и второй производных пропорциях, получим:

(21 + 7) : (30 + 10) = 7 : 10,
(21 – 7) : (30 – 10) = 7 : 10,

откуда

(21 + 7) : (30 + 10) = (21 – 7) : (30 – 10),

или

(21 + 7) : (21 – 7) = (30 + 10) : (30 – 10). (5)

Эту пятую производную пропорцию можно высказать так:

сумма членов первого отношения относится к их разности, как сумма членов второго отношения относится к их разности.

§ 201. Свойство равных отношений. Укажем еще одно свойство, которое принадлежит не только пропорции, т. е. равенству двух отношений, но и равенству трех, четырех и более отношений.

Возьмем несколько равных отношений, например, такие:

40 : 10 = 20 : 5 = 8 : 2 = … .

Так как во всяком отношении предыдущий член равен последующему, умноженному на отношение, и так как в нашем примере каждое отношение равно 4, то можем написать:

40 = 10 · 4; 20 = 5 · 4; 8 = 2 · 4; … .

Сложим левые части этих равенств между собой и правые части между собой. Очевидно, что от сложения равных чисел мы должны получить и равные суммы; поэтому

40 + 20 + 8 + ... = 10 · 4 + 5 · 4 + 2 · 4 + … .

В правой части этого равенства отдельно умножаются на 4 числа 10, 5, 2, ... и полученные произведения складываются. Вместо этого можно предварительно числа 10, 5, 2, ... сложить и затем сумму умножить сразу на 4. Поэтому последнее выведенное нами равенство мы можем переписать так:

40 + 20 + 8 + ... = (10 + 5 + 2 + …) = 4.

Разделим обе части этого равенства на сумму 10 + 5 + 2 + ..., от этого равенство не нарушится, и мы получим:

(40 + 20 + 8+ …) : (10 + 5 + 2 + ...) = 4.

Но каждое из взятых нами равных отношений также равно числу 4; значит,

(40 + 20 + 8 +...) : (10 + 5 + 2 + ...) = 40 : 10 = 20 : 5 = 8 : 2 = ....

Пусть вообще имеем несколько равных отношений:


Таким образом,
если несколько отношений равны друг другу, то сумма всех предыдущих их членов так относится к сумме всех последующих, как какой-нибудь один предыдущий член относится к своему последующему.
Всякая пропорция представляет собой равенство двух отношений; значит, указанное нами свойство принадлежит в частности всякой пропорции.

Математика: