Различные системы счисления. Римские цифры

§ 14. Понятие о системах счисления. Всякий общий способ наименования и обозначения чисел называется системой счисления, или нумерацией. Наша система счисления называется десятичной (или десятеричной), потому что по этой системе 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда. Число 10 называют поэтому основанием десятичной системы счисления. Всякое число N по этой системе представляется разложенным на простые единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д., причем число единиц каждого разряда меньше 10. Если положим, что в числе N содержится простых единиц a, десятков b, сотен c, тысяч d и т. д., то это число представляет собой сумму N = a + b · 10 + c · 102 + d · 103 + … .

Можно вообразить себе другие системы, в которых за основание принято какое-нибудь иное число. Если, например, за основание взять число 5, то получится пятеричная система счисления, по которой единиц одного разряда должны составить единицу следующего высшего разряда. Таким образом, по пятеричной системе единицей 2-го разряда должна быть пятерка, единицей 3-го разряда – 5 пятерок, или 52, единицей 4-го разряда – 5 раз по 5 пятерок, или 53 и т. д. По этой истоме число N представлялось бы так: N = a + b · 5 + c · 52 + d · 53 + e · 54 + …, где каждое из чисел a, b, c, d, e, ... было бы меньше 5.

§ 15. Число цифр, необходимое для изображения чисел по данной системе. Для письменного изображения чисел по десятичной системе употребляются 10 различных знаков. Для другой системы счисления потребовалось бы иное число цифр. Например, для пятеричной системы достаточно было бы следующих пяти цифр: 1, 2, 3, 4, 0. Действительно, число 5 представляло бы по этой системе 1 единицу 2-го разряда и, следовательно, изображалось бы так: 10. Число 6 представляло бы 1 единицу 2-го разряда (пятерку) и одну единицу 1-го разряда и, следовательно, изображалась бы так: 11 и т. п. Для изображения чисел по системе, у которой основание превосходит 10, было бы недостаточно наших цифр. Например, для двенадцатеричной системы пришлось бы придумать особые знаки для чисел 10 и 11, потому что наши обозначения этих чисел выражали бы тогда другие числа, именно: 10 означало бы 1 единицу 2-го разряда, т. е. дюжину, а 11 означало бы 1 единицу 2-го разряда и 1 единицу 1-го разряда, т. е. 13.

§ 16. Число, написанное по десятичной системе счисления, изобразить по другой системе. Для примера положим, что требуется число 1766 выразить по пятеричной системе при помощи пяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4. Для этого узнаем сначала, сколько в 1766 заключается единиц 2-го разряда, т. е. пятерок. Их оказывается 353, причем остается 1 единица 1-го разряда. Теперь узнаем, сколько в 353 пятерках заключается единиц 3-го разряда. Так как единица 3-го разряда содержит 5 единиц 2-го разряда, то надо 353 разделить на 5. Разделив, узнаем, что в 353 пятерках заключается 70 единиц 3-го разряда и 3 единицы 2-го разряда. 70 единиц 3-го разряда превращаем в единицы 4-го разряда; эти последние – в единицы 5-го разряда и т.д.

Перевод числа из десятеричной системы счисления в пятеричную

Таким образом находим, что 1766 содержит 2 единицы 5-го разряда, 4 единицы 4-го разряда, 3 единицы 2-го разряда и 1 единицу 1-го разряда; следовательно, 1766 изобразится по пятеричной системе так: 24031. Пусть еще требуется изобразить 121380 по двенадцатеричной системе:

Перевод числа из десятеричной системы счисления в двенадцатеричную

Обозначая 10 через a, 11 через b, найдем, что данное число изобразится так: 5a2b0.

§ 17. Число, написанное по какой-нибудь системе счисления, изобразить по десятичной. Пусть, например, требуется число 5623, написанное по восьмеричной системе, перевести на десятичную систему. Это можно выполнить, вычислив сумму:

N = 3 + 2 · 8 + 6 · 82 + 5 · 83 = 3 + 16 + 384 + 2560 = 2963.

Но проще поступить так: раздробим 5 единиц 4-го разряда в единицы 3-го разряда, для чего умножим 5 на 8 (потому по единица 4-го разряда содержит по восьмеричной системе 8 единиц 3-го разряда); к полученному числу приложим 6 единиц 3-го разряда, находящиеся в данном числе. Раздробим единицы 3-го разряда в единицы 2-го разряда; к полученному числу приложим 2 единицы 2-го разряда, находящиеся в данном числе. Раздробим единицы 2-го разряда в единицы 1-го разряда; к полученному числу приложим 3 единицы 1-го разряда, находящиеся в данном числе. Получим 2963:

Перевод числа из восьмеричной системы счисления в десятеричную
Замечания. 1) Десятичная система счисления распространена почти повсеместно. Многие видят причину такой распространенности том, что каждый человек с детства привыкает считать при помощи десяти пальцев обеих рук. Однако десятичное счисление не является самым удобным. Например, в некоторых отношениях удобнее была бы двенадцатеричная система, которая, не требуя для изображения чисел большого числа цифр, обладает важным свойством, что основание ее спится без остатка на 2, на 3, на 4 и на 6, тогда как основание нашей системы делится только на 2 и на 5; подобные же соображения послужили, вероятно, основанием шестидесятеричной системы счисления, употреблявшейся в древнем Вавилоне. Для теоретических исследований наиболее целесообразной оказывается двоичная система, которая, впрочем, для практических целей совсем неудобна, так как в этой системе даже небольшое число выражается длинным рядом цифр (например, число 70 выражается так: 1000110). 2) Употребляемые нами цифры и самая система обозначения чисел заимствованы европейцами у арабов (около XII в.). Вот почему эти цифры называются арабскими. Но есть основание думать, что арабы в свою очередь заимствовали эту систему у индусов.

§ 18. Римские цифры. Так как римские цифры в настоящее время употребляются иногда для обозначения чисел, то полезно ознакомиться и с ними. Римляне употребляли для обозначения чисел только следующие семь знаков:

I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

Их способ выражать числа существенно отличался от нашего. У нас цифры изменяют свое значение с переменой места, а в римской нумерации цифры на всяком месте сохраняют свое значение. Когда написано несколько римских цифр рядом, то число, выражаемое ими, равно сумме чисел, выражаемых каждой цифрой; например, XXV означает сумму 10 + 10 + 5, т. е. 25; CLXV означает сумму 100 + 50 + 10 + 5, т. е. 165, и т. и. Исключение из этого правила составляют только следующие 6 чисел:

4=IV, 9=IX, 40=XL, 90=XC, 400=CD, 900=CM.

В этих изображениях значение левой цифры вычитается из значения правой. После этого понятны будут следующие изображения чисел:

Числа в римской системе счисления

Число тысяч изображается так же, как число единиц, только с правой стороны, внизу ставят букву m (mille — тысяча); например:

CLXXXmCCCLXIV = 180 364.