Целые числа, их наименование и обозначение

§ 1. Понятие о целом числе. Один предмет да один предмет составляют два предмета; два предмета да один предмет составляют три предмета; три да один составляют четыре и т.д. Один, два, три, четыре и т.д. называются целыми числами.

Число один иначе называется единицей. Число два можно рассматривать как собрание (совокупность) двух единиц, число три — как собрание трех единиц и т. д. Таким образом, всякое целое число есть либо единица, либо собрание нескольких единиц. Кроме целых чисел, арифметика изучает и другие числа. С ними мы познакомимся дальше.

§ 2. Натуральный ряд. Если к единице присоединить еще единицу, к полученному числу снова присоединить единицу, потом еще единицу и т. д., то получится натуральный ряд чисел: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь и т. д.

Наименьшее число в этом ряду — единица; наибольшего числа нет, потому что ко всякому числу, как бы велико оно ни было, можно присоединить еще единицу и получить число еще большее; значит, натуральный ряд можно продолжать без конца; поэтому говорят, что натуральный ряд бесконечен.

Число три — меньше, чем число пять, которое в натуральном ряду стоит дальше, чем три; действительно, чтобы получить число пять, надо к тем трем единицам, из которых составлено число три, присчитать еще две единицы. Вообще, из двух разных чисел всегда меньшим будет то, которое в натуральном ряду стоит раньше; действительно, чтобы из этого числа получить второе число, которое в натуральном ряду стоит позже, надо к первому числу присчитать еще одну или несколько единиц, т. е. увеличить его; поэтому второе число больше первого.

Из двух чисел меньше то, которое в натуральном ряду встречается раньше, и больше то, которое в натуральном ряду встречается позже.

§ 3. Счет. Чтобы узнать, сколько в классе столов или сколько в саду деревьев, мы должны сосчитать их. Счет состоит в том, что отделяя один предмет за другим (на самом деле или только мысленно), мы называем каждый раз число отделенных предметов. Так, считая столы в классе, мы отделяем мысленно один стол за другим и говорим: один, два, три, четыре и т. д. Если при отделении последнего стола мы сказали, например, восемь, то значит, в классе восемь столов; число восемь есть в этом случае результат счета.

Мы принимаем за очевидную истину, что результат счета не зависит от того порядка, в каком мы считаем предметы. Так, считая столы в классе, мы получим одно и то же число независимо от того, считаем ли мы от передних столов к задним или от задних к передним. Важно только, чтобы при счете ни один стол не был пропущен и ни один не сосчитан два раза.

§ 4. Название чисел до тысячи. Первые десять чисел натурального ряда носят следующие названия:

один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять (или десяток).

С помощью этих названий и еще некоторых других можно выражать и другие числа. Положим, например, мы желаем назвать число поставленных здесь черточек:

пример счета

Для этого отсчитываем десять черточек и отделяем их от остальных; потом отсчитываем еще десять черточек и отделяем их от остальных. Продолжаем так отсчитывать по десятку до тех пор, пока либо совсем не останется черточек, либо их останется менее десяти. Теперь сосчитаем десятки и оставшиеся черточки (или единицы); так как десятков оказалось четыре, а оставшихся черточек три, то мы можем число всех черточек назвать так:

четыре десятка три единицы.

Когда в числе окажется более десяти десятков, то поступают так: отсчитывают десять десятков, потом еще десять десятков, затем снова десять десятков и т. д, – до тех пор, пока можно. Каждые десять десятков называют одним словом: сто, или сотня. Положим, что в каком-нибудь числе оказывается: сотен – три, оставшихся десятков – пять и оставшихся единиц – семь; такое число можно назвать так:

три сотни пять десятков семь единиц.

Если сотен в числе окажется более десяти, то эти сотни считают тоже десятками. Каждые десять сотен называют одним словом тысяча.

§ 5. Сокращение некоторых названии. В нашем языке употреблены некоторые сокращенные названия чисел. Так, десять да один называется одиннадцать (т.с. один-на-десять); десять да два называется двенадцать (т. е., две-на-десять) и т д. Два десятка называется двадцать (т. е. два-десять); три десятка называется тридцать (т.е. три–десять); четыре десятка называется сорок и т. д. Две сотни называется двести; три сотни называется триста и т. д.

§ 6. Обозначение чисел до тысячи. Первые девять чисел обозначаются особыми знаками или цифрами:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

С помощью этих девяти цифр и десятой 0 (нуль), означающей отсутствие предметов, можно изобразить всякое число.

Цифра 0 обозначает, что предметов вовсе нет, цифра 1, – что имеется только один предмет и т. д.

Чтобы изобразить цифрами число, условились писать: простые единицы – на первом месте справа, десятки – на втором месте справа, сотни – на третьем месте; например:

Название чисел

Все цифры, кроме нуля, называются значащими цифрами.

Приведенные примеры показывают необходимость введения нуля. Так, в обозначении числа триста сорок (340) нельзя опустить нуль, потому что 34 означает тридцать четыре. Напротив, нули, стоящие влево от первой значащей цифры, могут быть опущены и почти всегда опускаются; 045 означает то же, что 45; 007 – то же, что просто 7. При этом условии число, изображаемое одной цифрой, называется однозначным, двумя цифрами двузначным, тремя цифрами трехзначным и т.д.

§ 7. Названия чисел, превосходящих тысячу. Когда считаемых предметов более тысячи, то составляют из них столько тысяч, сколько можно; затем считают тысячи и оставшиеся единицы и называют число тех и других; например: двести сорок тысяч пятьсот шестьдесят две единицы.

Тысяча тысяч составляет миллион, тысяча миллионов миллиард (или биллион), тысяча миллиардов – триллион и т. п. [Затем следуют названия: квадриллион (тысяча триллионов), квинтиллион (тысяча квадриллионов), секстиллион (тысяча квинтиллионов) и т. д.]

§ 8. Обозначение чисел, превосходящих тысячу. Пусть требуется написать число: тридцать пять миллиардов восемьсот шесть миллионов семь тысяч шестьдесят три единицы. Его можно написать при помощи цифр и слов так:

35 миллиардов 806 миллионов 7 тысяч 63 единицы.

Чтобы можно было обойтись совсем без слов, условились: во-первых, числа миллиардов, миллионов, тысяч и простых единиц писать рядом, в одну строчку, слева направо и, во-вторых, изображать каждое из этих чисел всегда тремя цифрами, т.е. вместо 63 единиц писать 063, вместо 7 тысяч писать 007 и т. п. Тогда аше число изобразится так:

035 806 007 063.

Впрочем, и здесь с левой стороны нулей не пишут, т. е. изображают наше число так:

35 806 007 063.

Наконец, то же число часто пишут и без промежутков:

35806007063.

При этом запоминают, что первые справа три цифры означают число единиц, следующие влево три цифры означают число тысяч, следующие за этими три цифры - число миллионов и т. д. Например:

Название чисел
§ 9. Как прочитать число, написанное длинным рядом цифр. Чтобы легче прочитать число, изображенное длинным ядом цифр, например такое: 5183000567029, мысленно отделяют в нем справа (например запятой, поставленной сверху) по три цифры до тех пор, пока можно:

5'183'000'567'029.

Первая справа запятая заменяет слово «тысяч», вторая – «миллионов», третья – «миллиардов», четвертая – «триллионов». Значит, наше число должно быть прочтено так:

5 триллионов 183 миллиардов 567 тысячи 29.

К последнему числу обыкновенно не добавляют слова «единиц».

Если то же число записано так, что крез каждые три цифры, считая справа, оставлен промежуток:

5 183 000 567 029,

то его легко прочитать, и не ставя запятых.

§ 10. Значение мест, занимаемых цифрами. При таком способе писания чисел каждое место, занимаемое цифрой, имеет свое особое значение, а именно:

название разрядов

Мы видим, таким образом, что наша система обозначения основана на употреблении десяти цифр, которым приписывается двоякое значение: одно - в зависимости от начертания цифры, другое - в зависимости от места, занимаемого цифрой; а именно:

из двух написанных рядом цифр левая означает единицы, в 10 раз больше, чем правая.

§ 11. Разряды единиц. Единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. иногда удобнее называть иначе, а именно: единицы называются единицами 1-го разряда (или простыми единицами), десятки – 2-го, сотни – 3-го и т. д.

Все единицы, кроме простых единиц (единиц 1-го разряда), называются составными единицами. Так, десяток, сотня, тысяча – составные единицы.

Всякая составная единица по сравнению с другой единицей, меньшей ее, называется единицей высшего разряда, а по сравнению с единицей, большей ее, называется единицей низшего разряда; так, сотня есть единица высшего разряда сравнительно с десятком и единица низшего разряда сравнительно с тысячей.

Всякая составная единица содержит 10 единиц следующего низшего разряда; например, сотня тысяч содержит 10 десятков тысяч, десяток тысяч – 10 тысяч и т. д.

§ 12. Классы единиц. Разряды единиц группируют еще в классы; к 1-му классу относятся первые три разряда: сотни, десятки и единицы; ко 2-му классу относят следующие три разряда: тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч и т. д. 1-й класс есть класс единиц (содержит сотни, десятки и единицы единиц); 2-й класс - класс тысяч (содержит сотни, десятки и единицы тысяч) и т. д.

§ 13. Как узнать, сколько в числе всех единиц данного разряда. Пусть требуется узнать, сколько в числе 56284 заключается всех сотен, т. е. сколько сотен заключается в десятках тысяч, в тысячах и в сотнях данного числа вместе.

Простые сотни ставятся на третьем месте справа; в данном числе на третьем месте стоит цифра 2; значит, в числе есть две простые сотни. Следующая влево цифра 6 означает тысячи, но в каждой тысяче содержится 10 сотен; значит, в 6 тысячах их заключается 60. Следующая влево цифра 5 означает десятки тысяч, но каждый десяток тысяч содержит в себе 10 тысяч и, следовательно, 100 сотен; значит, в 5 десятках тысяч заключается 500 сотен. Всего, таким образом, в данном числе содержится сотен 500 да еще 60 да еще 2, т. е. 562.

Так же узнаем, что в данном числе всех десятков 5628.

Правило. Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц данного разряда, надо отбросить все цифры, означающие единицы низших разрядов и прочитать число, выражаемое оставшимися цифрами.

Математика: