Умножение

Задача. Куплено 6 линеек по 85 копеек каждая. Сколько заплатили за все линейки?

Для решения этой задачи мы должны найти сумму 6 одинаковых слагаемых:

85+ 85+ 85+ 85+ 85+ 85 = 510 (= 5р. 10 к ).

В нашей задаче мы эту сумму находим обыкновенным сложением. Но когда число равных слагаемых велико, нахождение сумм посредством сложения утомительно.

А так как складывать одинаковые слагаемые приходится очень часто, то арифметика вырабатывает способы находить такие суммы более быстро.

Когда производится сложение одинаковых слагаемых, т. е. когда одно и то же число повторяется как слагаемое несколько раз, то говорят, что это число умножается (берется много раз). Когда оно повторяется 6 раз, то говорят, что оно умножается на 6; если повторяется 20 раз, то говорят, что оно умножается на 20, и т. п.

§ 42. Что такое умножение. Умножением называется сложение одинаковых слагаемых.

При этом то число, которое повторяется как слагаемое, называется множимым (оно умножается), а число, показывающее, сколько берется таких одинаковых слагаемых, называется множителем.

Число, полученное после умножения, называется произведением. Например, когда 85 умножается на 6, то 85 есть множимое, 6 – множитель, а получившееся после умножения число 510 – произведение. Множимое и множитель безразлично называются сомножителями.

Принято обозначать умножение посредством особого знака. Если, например, 85 надо умножить на 6, то пишут так: 85 · 6, т.е. пишут множимое, справа от него знак умножения (точка), а справа от знака ставят множитель; такое обозначение заменяет собой сумму 85+85+85+85+85+85. Когда произведение найдено, то можно написать равенство: 85 · 6 = 510.

(Вместо точки в качестве знака умножения употребляют также косой крест ×).

Равенство это можно прочитать различно:

сумма шести одинаковых слагаемых, из которых каждое равно 85, составляет 510;

85, умноженное на 6, составляет 510;

произведение 85 на 6 равно 510.

Замечания. 1) Так как умножение есть частный случай сложения, то оно всегда возможно и дает единственный результат при данных сомножителях.

2) Когда сомножители обозначены буквами, то их умножение часто указывается без всякого знака (просто помещают сомножители рядом). Так, если написано ab, то это значит, что число a умножается на число b. Также не ставят никакого знака, если только один множитель обозначен буквой, например 5a.

3) Множимое может обозначать единицы какого угодно названия, например метры, рубли, карандаши и т. д.; произведение должно означать единицы того же названия, как в множимое. Так, если 7 рублей умножается на 4, то получается 28 рублей. Множитель, означая, сколько берется одинаковых слагаемых, не имеет наименования; так, можно 7 рублей помножить на 4, но нельзя 7 рублей помножить на 4 рубля или на 4 метра.

В прикладных науках (например, в физике) часто перемножают между собой именованные числа, причем наименование произведения рассматривается как произведение наименований сомножителей.

§ 43. Некоторые особые случаи умножения. Рассмотрим эти случаи.

1) Если множимое есть единица, то произведение равно множителю; так, 1 · 5 = 5, потому что сумма 1 + 1 + 1 + 1 + 1 составляет 5.

2) Если множимое есть нуль, то и произведение равно нулю; например 0 · 4 = 0, потому что сумма 0 + 0 + 0 + 0, как мы условились ранее (§ 24), должна считаться равной нулю.

3) Если множитель единица, то произведение принимается равным множимому; например 5 · 1 = 5 (если 5 взять 1 раз, получим 5).

4) Если множитель есть нуль, то произведение принимается равным нулю; например 5 · 0 = 0 (если 5 не брать ни одного раза, то ничего не получим).

§ 44. Увеличение числа в несколько раз. Увеличить число в 2 раза, в 3 раза, в 4 раза и т. д. – значит, составить сумму двух, трех, четырех и т.д. слагаемых, равных данному числу. Например, увеличить 10 в 5 раз – значит, взять сумму пяти слагаемых, равных каждое 10, т. е. умножить 10 на 5. Таким образом, увеличение числа в несколько раз выполняется умножением (тогда как увеличение числа на какое-нибудь число выполняется сложением).

§ 45. От перемещения сомножителей произведение не изменяется. Положим, желаем сосчитать изображенные здесь черточки:

счет палочек

В первой строчке их 7, во второй и в третьей тоже по 7, значит, всех черточек будет 7 + 7 + 7, т. е. 7 · 3. Но те же черточки можно считать вертикальными столбцами: в первом столбце их 3, во втором 3, в третьем 3 и т,д; так как всех столбцов 7, то черточек окажется 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, т.с. 3 · 7. Но число черточек не зависит от того, в каком порядке мы их считаем; значит, 7 · 3 = 3 · 7.

Подобным же образом можно убедиться, что 8 · 5 = 5 · 8; 20 · 15 = 15 · 20 и т. д. Вообще

произведение не изменяется от перемещения множимого на место множителя, а множителя на место множимого.

Свойство это называется переместительным законом умножения. В общем виде его можно выразить равенством ab = ba.

Замечание. Этим свойством умножение обладает и тогда, когда множитель есть единица или нуль; так, 1 · 5 = 5 и 5 · 1 = 5; 0 · 4 = 0 и 4 · 0 = 0.

§ 46. Таблица умножения. Чтобы уметь быстро производить умножение любых чисел, надо запомнить все произведения однозначных чисел. Для этого составляют (при помощи сложения) так называемую таблицу умножения и заучивают ее наизусть.

§ 47. Порядок, в каком мы будем рассматривать умножение.

Мы укажем, как производится действие умножения, в такой последовательности:

1) умножение многозначного числа на однозначное;

2) умножение любого числа на число, выражаемое цифрой 1 с одним или с несколькими нулями;

3) умножение любого числа на число, выражаемое какой угодно значащей цифрой с одним или несколькими нулями;

4) умножение многозначного числа на многозначное;

5) умножение чисел, оканчивающихся нулями.

§ 48. Умножение многозначного числа на однозначное. Пусть требуется умножить 846 на 5. Принято располагать действие так:

пример умножения в столбик

т. е. пишут множимое, под ним множитель; под множителем проводят черту. Под чертой пишут цифры произведения по мере того, как их получают.

Умножить 846 на 5 – значит, сложить 5 чисел, каждое их которых равно 846. Для этого достаточно взять сначала 5 раз по 6 единиц, потом 5 раз по 4 десятка и наконец 5 раз по 8 сотен.

В каждом из этих случаев произведение найдем по таблице умножения.

5 раз по 6 единиц = 30 единиц, т.е. 3 десятка; ставим нуль под чертой на месте единиц, а 3 десятка запоминаем.

5 раз по 4 десятка = 20 десятков, да 3 десятка = 23 десятка, т.е. 2 сотни и 3 десятка; ставим 3 десятка под чертой на месте десятков, а 2 сотни запоминаем.

5 раз по 8 сотен = 40 сотен, да 2 сотни = 42 сотни; ставим под чертой 42 сотни, т.е. 4 тысячи и 2 сотни.

Таким образом, произведение 846 на 5 оказывается равным 4230.

§ 49. Умножение на число, выражаемое единицей с одним или несколькими нулями. Пусть требуется умножить: 358 на 10. т. е. сложить 10 чисел, каждое из которых равно 358. Если взять 10 раз по одной единице, получится 1 десяток; значит, если взять 10 раз по 358 единиц, получится 358 десятков, что составляет 3580 единиц. Возьмем еще другой пример: 296 · 1000.

Одна единица, повторенная слагаемым 1000 раз, составляет 1 тысячу; следовательно, 296 единиц, повторенные 1000 раз, составляет 296 тысяч, что пишется так: 296 000.

Правило. Чтобы умножить любое число на число, выражаемое единицей с нулями, достаточно приписать к множимому справа столько нулей, сколько их во множителе.

§ 50. Умножение на число, выражаемое какой угодно значащей цифрой с одним или несколькими нулями. Пусть требуется умножить: 248 на 30, т.е. сложить 30 одинаковых слагаемых, каждое из которых равно 248. Вообразим, что эти 30 слагаемых соединены в 10 одинаковых групп по 3 слагаемых в каждой группе:

Умножение на число с нулем

Мы можем, таким образом, взять 3 раза по 248, а результат этого действия (число 744) помножить на 10. Иначе говоря, для умножения какого-нибудь числа на 30 достаточно умножить его на 3 и полученное произведение умножить на 10 (для чего приписать справа один нуль):

248 · 3 = 744, 744 · 10 = 7440.

Возьмем еще другой пример: 895 · 400.

В этом примере требуется сложить 400 чисел, каждое из которых равно 895.

Но 400 слагаемых можно соединить в 100 групп по 4 слагаемых в каждой группе. Чтобы узнать, сколько единиц в одной из этих групп, надо 895 умножить на 4 (получим 3580); чтобы затем узнать, сколько единиц во всех группах, надо 3580 умножить на 100 (для чего достаточно приписать к числу 3580 справа два нуля).

Правило. Чтобы умножить любое число на какую угодно значащую цифру с нулями, достаточно умножить множимое на эту значащую цифру и к полученному произведению приписать справа столько нулей, сколько их во множителе.

§ 51. Умножение на многозначное число. Пусть требуется сделать умножение:

3826 · 472,

т.е, сложить 472 одинаковых числа, каждое из которых равно 3826. Для этого достаточно сложить сперва 2 таких числа, потом еще 70, потом еще 400 и, наконец, все полученные суммы соединить в одну; т. е. требуется повторить число 3826 слагаемым 472 раза. Для этого достаточно повторить 3826 слагаемых 2 раза, потом 70 раз, потом 400 раз и полученные суммы соединить в одну; другими словами, достаточно 3826 умножить на 2, потом на 70, затем на 400 и полученные произведения сложить.

Действие расположим так: пишем множимое, под ним множитель, под множителем проводим черту:

Умножение в столбик на многозначное число

Умножаем множимое на 2 и полученное произведение пишем под чертой; это будет первое частное (частичное) произведение (именно 7652).

Умножаем множимое на 70. Для этого достаточно умножить множимое на 7 и к произведению приписать справа один нуль; поэтому мы ставим нуль под цифрой единиц первого частного произведения, а цифры, получаемые от умножения множимого на 7, пишем, по порядку их получения, под десятками, сотнями и прочими разрядами первого частного произведения. Это будет второе частное произведение (267820).

Умножаем множимое на 400. Для этого достаточно умножить 3826 на 4 и к произведению приписать справа два нуля. Пишем два нуля под единицами и десятками второго частного произведения, а цифры, получаемые от умножения множимого на 4, пишем, по порядку их получения, под сотнями, тысячами и прочими разрядами второго частного произведения. Тогда получим третье частное произведение (1530400).

Под последним частным произведением проводим черту и складываем их все; получаем полное произведение.

Для сокращения письма не пишут нулей, указанных нами жирным шрифтом; при этом надо только помнить, что, умножая множимое на цифру десятков множителя, мы должны писать первую полученную цифру под десятками первого частного произведения; умножая множимое на цифру сотен множителя, пишем первую полученную цифру под сотнями предыдущих частных произведений и т. д.

Замечания. 1) Если в числе цифр множителя есть единица, то, умножая множимое на эту цифру, надо иметь в виду, что, когда множитель есть единица, произведение равно множимому.

2) Когда во множителе встречаются нули, то на них не умножают, а переходят прямо к умножению на следующую значащую цифру множителя.

Например:

Пример умножения в столбик чисел с нулями

Последнее частное произведение, полученное от умножения множимого на 6 десятков тысяч, записывается, конечно, так, чтобы его цифра единиц (2) стояла в разряде десятков тысяч.

3) Если во множителе цифр больше, чем во множимом, то для уменьшения числа частных произведений лучше множитель взять за множимое, а множимое за множитель. Например, находя произведение 378 · 27468, умножают 27468 на 378.

§ 52. Сокращенное умножение чисел, оканчивающихся нулями. Сначала возьмем пример, в котором только одно множимое оканчивается нулями:

2700 · 15.

Умножить 2700 на 15 значит, стожить 15 чисел, каждое из которых равно 2700. Если станем находить эту сумму обыкновенным сложением:

Умножение чисел оканчивающихся нулями

то нули слагаемых, очевидно, перейдут в сумму, и достаточно будет взять 15 раз по 27 сотен. Значит, для умножения 2700 на 15 достаточно умножить 27 на 15 и к произведению приписать два нуля.

Действие всего удобнее расположить так:

Умножение чисел оканчивающихся нулями

т. е, множитель пишется так, чтобы нули множимого стояли направо от множителя, затем производят умножение, не обращая внимания на нули множимого, а к произведению их приписывают справа.

Возьмем теперь пример, в котором только множитель оканчивается нулями:

358 · 23000.

Это значит, что требуется сложить 23 000 чисел, каждое из которых равно 358.

Но 23 000 слагаемых можно соединить в 1000 одинаковых групп по 23 слагаемых в каждой группе. Чтобы узнать, сколько единиц окажется в одной группе, надо 358 умножить на 23, а чтобы затем узнать, сколько единиц будет во всех группах, надо число единиц в одной группе умножить на 1000 (для чего достаточно приписать справа к этому числу три нуля). Действие располагают обыкновенно так:

Умножение чисел оканчивающихся нулями

Наконец, рассмотрим пример, в котором оба данных числа оканчиваются нулями:

57 000 · 3200.

Для умножения 57 000 на какое-нибудь число надо умножить 57 на это число и к произведению приписать три нуля. Но чтобы умножить 57 на 3200, надо умножить 57 на 32 и к произведению приписать два нуля. Поэтому,

когда множимое и множитель оканчиваются нулями, производят умножение не обращая внимания на нули, и к произведению приписывают столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе.

Действие располагают так:

Умножение чисел оканчивающихся нулями
§ 53. Изменение произведения с изменением сомножителей.
1) Если увеличим множитель в несколько раз, то и произведение увеличится во столько же раз.

Так, если в примере

15 · 3=45

увеличим множитель, положим, в 4 раза, то получим произведение 15 · 12 = 180. Новое произведение оказалось больше прежнего в 4 раза. Так оно и должно быть, потому что первое произведение есть сумма трех слагаемых:

15 + 15 + 15,

а новое произведение – сумма 12 таких же слагаемых:

15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15.

Пользуясь сочетательным законом сложения, мы можем в последней сумме каждые три слагаемые соединить в одну группу:

(15 + 15 + 15) + (15 + 15 + 15) + (15 + 15 + 15) + (15 + 15 + 15),

и тогда станет ясно, что новое произведение равно сумме четырех чисел, из которых каждое равно прежнему произведению, т.е. новое произведение больше прежнего в 4 раза.

2) Если увеличим множимое в несколько раз, то и произведение увеличится во столько же раз.

Так, если в том же примере увеличим множимое, положим, в 6 раз, то получим 90 · 3 = 270. Новое произведение больше прежнего в 6 раз. Так оно и должно быть, потому что множимое и множитель можно поменять местами, не меняя произведения, а от увеличения множителя в несколько раз, как мы сейчас видели, произведение увеличивается во столько же раз.

Из сказанного в случаях 1) и 2) следует:

3) Если уменьшим множитель или множимое в несколько раз, то и произведение уменьшится во столько же раз.

Например:

20 · 2 = 40; 10 · 2 = 20; 5 · 2 = 10 и т. п.

Если оба сомножителя изменяются одновременно, то произведение иногда увеличится, иногда уменьшится, или же останется без перемены.

Чтобы определить заранее, что сделается с произведением от одновременного изменения обоих сомножителей, следует предположить, что сначала изменено только множимое, а потом и множитель.

Увеличим, например, в произведении 15 · 6 = 90 множимое в 3 раза, а множитель в 2 раза:

15 · 6 = 90; 45 · 12 = ?

Чтобы узнать, что сделается с произведением, рассуждаем так: от увеличения множимого в 3 раза произведение увеличится в 3 раза, т. е. будет не 90, а 90 + 90 + 90. От увеличения затем множителя в 2 раза произведение еще увеличится в 2 раза; значит, оно теперь будет:

(90 + 90 + 90) + (90 + 90 + 90),

т.е. сравнительно с начальным произведением оно увеличится в дважды три раза, т, е, в 6 раз.

В том же примере увеличим множимое в 8 раз, а множитель уменьшим в 2 раза:

15 · 6 = 90; 120 · 3 = ?

От увеличения множимого в 8 раз произведение увеличится в 8 раз, а от уменьшения затем множителя в 2 раза это увеличенное в 8 раз произведение уменьшится в 2 раза. Значит, после двух этих изменений произведение увеличится только в 4 раза:

120 · 3 = 360 = 90 · 4.

4) Если один сомножитель увеличим в несколько раз, а другой уменьшим во столько же раз, то произведение не изменится, потому что от увеличения одного сомножителя произведение увеличится, а от уменьшения другого сомножителя оно уменьшится во столько же раз. Например:

15 · 6=90; 30 · 3=90; 5 · 18=90.

§ 54. Упрощение умножения в некоторых случаях. Зная изменения произведения в зависимости от изменения сомножителей, мы можем иногда упростить умножение. Пусть, например, надо умножить 438 на 5. Увеличим множитель в 2 раза, т. е. вместо 5 возьмем множитель 10. Тогда произведение находим сразу, оно будет 4380. Но, увеличив множитель в 2 раза, мы увеличили произведение в 2 раза; следовательно, искомое произведение должно быть вдвое меньше 4380, т. е. оно равно 2190.

Подобно этому, если требуется умножить на 25, мы можем умножить на 100 и полученное произведение уменьшить в 4 раза.

Иногда упрощение достигается еще более простыми соображениями. Пусть, например, требуется умножить 56 на 11. Помножив 56 на 10, получим 560; остается еще 1 раз добавить 56; получим 616.

Подобным же образом можно умножить любое число на 19. Для этого достаточно умножить его на 20 и затем вычесть множимое.

§ 55. Произведение трех и более сомножителей. Пусть имеем несколько чисел, например 7, 5, 3 и 4, данных в определенном порядке, например в таком, как они у нас поставлены. Составим из них произведение таким образом: умножив первое число на второе, получим 35; умножив 35 на третье число, получим 105; умножив 105 на четвертое число, получим 420. Число 420 называется произведением четырех сомножителей 7, 5, 3 и 4. Подобным образом можно находить произведение пяти, шести и более сомножителей.

Для обозначения таких последовательных умножений пишут данные числа в одну строку в том порядке, в каком требуется производить над ними умножение, и ставят между ними знак умножения. Таким образом, выражение

3 · 4 · 2 · 7

равносильно такому:

[(3 · 4) · 2] · 7,

т. е. оно означает, что 3 умножается на 4, полученное произведение – на 2 и это последнее произведение – на 7.

§ 56. Переместительный закон умножения для любого числа сомножителей: произведение не меняется от перемены порядка сомножителей. То свойство произведения, в котором мы убедились в § 45, остается верным и для произведения трех, четырех и более сомножителей, т. е. произведение не изменяется от перемены порядка сомножителей (сколько бы их ни было).

Например, вычислив каждое из произведений:

2 · 5 · 3 · 4 · 7;     2 · 3 · 4 · 5 · 7;   &nbsp 4 · 7 · 3 · 2 · 5;   &nbsp 7 · 2 · 3 · 4 · 5,

отличающихся только порядком сомножителей, мы получим одно и то же число 840.

§ 57. Сомножители произведения можно соединять в какие угодно группы.

Соединим, например, в произведении

3 · 4 · 5 · 2

последние два сомножителя в одну группу: 3 · 4 · (5 · 2) и вычислим это выражение: 3 · 4 = 12; 5 · 2 = 10; 12 · 10 = 120. Мы получили то же самое число, как если бы произвели умножение, не соединяя сомножителей в группы: 3 · 4 = 12; 12 · 5 = 60; 60 · 2 = 120.

Свойство это называется сочетательным законом умножения. Его можно рассматривать как следствие переместительного закона. Действительно, согласно этому закону мы можем перенести множители 5 и 2 к началу ряда, т.е. написать произведение так: 5 · 2 · 3 · 4. В этом виде множители 5 и 2 составляют одну группу, так как по определению (§ 56) выражение 5 · 2 · 3 · 4 означает произведение (5 · 2) · 3 · 4. Теперь группу эту можно поменять местами с каждым из остальных сомножителей. Значит,

(5 · 2) · 3 · 4 = 3 · (5 · 2) · 4 = 3 · 4 · (5 · 2).

В общем виде сочетательный закон умножения можно выразить (для трех сомножителей) так:

abc = (ab)c = a(bc).

§ 58. Как умножить на произведение и как умножить произведение. 1) Мы видели (§ 50), что если требуется умножить какое-нибудь число на 30 (т.е. на произведение 3 · 10), то достаточно умножить множимое на 3 и затем умножить полученное число на 10; также для умножения какого-нибудь числа на 400 (т. е. на произведение 4 · 100) можно умножить это число на 4 и затем полученное число на 100. Такой прием последовательного умножения на каждый множитель отдельно применим и к произведению четырех, пяти и более множителей. Так:

7 · (3 · 5 · 8) =7 · 3 · 5 · 8 = [(7 · 3) · 5] · 8,

потому что согласно § 57 множители 3, 5 и 8 могут быть соединены в одну группу. Таким образом,
чтобы умножить на произведение, можно умножить сначала на первый сомножитель, потом полученное произведение умножить на второй сомножитель, затем на третий и т.д.

2) Пусть требуется умножить произведение 7 · 3 · 4 на 8. Вместо того, чтобы сначала вычислить произведение 7 · 3 · 4 (оно равно 84), а затем его умножить на 8 (получим 672), мы можем умножить на 8 какой-нибудь один из сомножителей 7, 3 или 4, оставив другие без изменения, и уже потом перемножать их. Например, умножим на 8 сомножитель 3. Тогда будем иметь: 7 · (3 · 8) · 4 = = 7 · 24 · 4 = 672; мы получили то же самое число, что и прежде.

Таким образом,

чтобы умножить произведение на какое-нибудь число, можно умножить на это число один из сомножителей, оставив другие без изменения.

Так,

(5 · 4 · 8) · 3 = (5 · 3) · 4 · 8 = 5 · (4 · 3) · 8 = 5 · 4 · (8 · 3) = 480.

Это правило является очевидным следствием переместительного и сочетательного законов.

§ 59. Как умножить сумму на какое-нибудь число. Когда мы умножали раньше (§ 48) число 846 (т. е. сумму 6 единиц, 4 десятков и 8 сотен) на 5, мы умножали на 5 отдельно единицы, десятки и сотни и полученные числа складывали. Подобным образом можно поступать всегда, когда требуется сумму умножить на какое-нибудь число. Пусть, например, надо умножить 10 + 7 + 5 + 9 на 3. Это значит, что требуется найти сумму:

[(10 + 7 + 5 + 9) + (10 + 7 + 5 + 9) + (10 + 7 + 5 + 9)].

Но, чтобы прибавить сумму, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим (§ 21). Поэтому написанная сейчас сумма может быть заменена такой:

10 + 7 + 5 + 9 + 10 + 7 + 5 + 9 + 10 + 7 + 5 + 9.

Сгруппируем слагаемые этой суммы так:

(10 + 10 + 10) + (7 + 7 + 7) + (5 + 5 + 5) + (9 + 9+ 9),

тогда получим:

10 · 3 + 7 · 3 + 5 · 3 + 9 · 3.

Рассуждение это можно повторить для любых других чисел.

Таким образом,

чтобы умножить сумму на какое-нибудь число, надо умножить на это число каждое слагаемое отдельно и затем сложить полученные результаты.

Так как произведение не меняется от перемещения сомножителей, то из выведенного правила следует:

чтобы умножить какое-нибудь число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и результаты сложить.

Так мы и поступали, когда (§ 51) число 3826 умножали на 472, т. е. на сумму 2 + 70 + 400.

Свойство это называется распределительным законом умножения (относительно сложения), так как согласно ему умножение, производимое над суммой, можно распределять между отдельными слагаемыми.

В общем виде это свойство можно выразить так:

(a + b + c + …)m = am + bm + cm + … .

или

m(a + b + c + …) = ma + mb + mc + … .

Замечание. Для избежания недоразумений выражение am + bm + cm + … нада бы писать так: (am) + (bm) + (cm) + …
Но для сокращения письма условились, что если в выражении указаны действия сложения, вычитания и умножения, а скобок не имеется, то надо сначала произвести умножение, а потом сложение и вычитание. Тогда и без скобок будет ясно, в каком порядке надо произвести действия в выражении am + bm + cm + …