Обращение периодических дробей в обыкновенные

§ 181. Предварительное замечание. В § 180 мы видели, что при обращении простой дроби в десятичную всегда получается десятичная дробь либо конечная, либо периодическая. Пусть теперь, наоборот, дана периодическая десятичная дробь, и мы хотим узнать, какова та простая дробь, при разложении которой получается данная периодическая дробь. Для этого сначала, рассмотрим, какие периодические дроби получаются от обращения таких обыкновенных, у которых числитель есть единица, а знаменатель – цифра 9, написанная один или несколько раз подряд,


Из рассмотрения этих делений легко вывести, что в таких периодических дробях период состоит или из единицы, или из единицы, предшествуемой нулями, причем в периоде столько цифр, сколько раз в знаменателе дроби повторяется цифра 9.

§ 182. Обращение чистой периодической дроби в обыкновенную. Пусть желаем найти обыкновенную дробь, от которой происходит чистая периодическая 0,2323.... Для этого сравним эту периодическую дробь с другой, более простой, у которой период имеет столько же цифр, но состоит из единицы, предшествуемой нулями:

0,232323...
0,010101...

Первая дробь содержит: 23 сотых 23 десятитысячных 23 миллионных и т. д.; вторая дробь содержит: 1 сотую 1 десятитысячную 1 миллионную и т.д. Значит, в первой дроби содержится десятичных долей всех этих разрядов в 23 раза более, чем во второй. Поэтому, если существует обыкновенная дробь, от обращения которой получается периодическая 0,(23), то она должна быть в 23 раза более обыкновенной дроби, от которой происходит 0,(01); но дробь 0,(01) происходит, как мы видели от 1/99; следовательно, дробь 0,(23) должна происходить от 23/99. И действительно

Правило. Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно ее период сделать числителем, а знаменателем написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде.

Примеры:

Перевод периодических дробей в обыкновенные
§ 183. Обращение смешанной периодической дроби в обыкновенную. Пусть требуется найти обыкновенную дробь, от которой происходит смешанная периодическая 0,3(52). Для этого перенесем в последней запятую на одно место вправо: тогда получим чистую периодическую дробь 3,(52), которая происходит от обыкновенной . Но, перенеся запятую на один знак вправо, мы увеличили дробь в 10 раз; следовательно, дробь будет в 10 раз более той, от которой произошла дробь 0,3(52).

Поэтому, чтобы найти искомую дробь, достаточно разделить на 10. Таким образом,

Можно вывести очень удобное правило для обращения смешанной периодической дроби в обыкновенную; для этого обратим внимание на то, как можно выполнить деление смешанного 52 числа на 10. Сначала обратим смешанное число в неправильную дробь. Для этого следует 3 умножить на 99 и приложить потом 52. Но, вместо того чтобы умножить 3 на 99, мы можем умножить 3 на 100 и уменьшить результат на 3. Таким образом,

Правило. Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную, достаточно из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и полученную разность взять числителем, а знаменателем написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, со столькими нулями, сколько цифр между запятой и периодом.

§ 184. Какие обыкновенные дроби обращаются в чистые периодические и какие - в смешанные. Мы уже знаем, что всякая обыкновенная дробь при обращении в десятичную дает либо конечную, либо периодическую десятичную дробь. Мы знаем также, в каких случаях получается конечная и в каких периодическая десятичная дробь. Теперь мы выясним, в каких случаях получающаяся периодическая дробь будет чистой и в каких смешанной. При этом правила, которые мы укажем, будут обоснованы в ближайших параграфах: здесь же мы приводим лишь несколько предварительных соображений, говорящих в пользу этих правил.

1. Обыкновенная дробь, знаменатель которой, после сокращения, не содержит множителей 2 и 5, обращается в чистую периодическую дробь.

Например:

Действительно, во-первых, такая дробь должна обратиться в какую-нибудь периодическую (§ 180); во-вторых, эта периодическая дробь не может быть смешанной, потому что смешанная периодическая дробь, как мы видели, обращается в такую обыкновенную дробь, знаменатель которой содержит множители 2 и 5. Следовательно, данная дробь должна обратиться в чистую периодическую.

2. Обыкновенная дробь, знаменатель которой, после сокращения, вместе с другими множителями содержит множители 2, или 5, или оба, обращается в смешанную периодическую дробь.

Например:

Действительно, во-первых, такая дробь должна обратиться в какую-нибудь периодическую; во-вторых, эта периодическая дробь не может быть чистой, потому что чистая периодическая дробь, как мы видели, происходит от такой обыкновенной, знаменатель которой не содержит множителей 2 и 5. Следовательно, данная дробь должна обратиться в смешанную периодическую дробь.

Математика: