Обращение обыкновенных дробей в десятичные

§ 174. Предварительные замечания. Так как действия над десятичными дробями производятся проще, чем над дробями обыкновенными, то бывает полезно обращать обыкновенные дроби в десятичные. Укажем два способа такого обращения.

(Впрочем, при совершении вычислений над дробями десятичными и обыкновенными совместно, не всегда целесообразно приводить эти дроби к одному виду; если, например, требуется 0,567 умножить на 3/7, то нет надобности обращать 3/7 в десятичную дробь; можно 0,567 умножить на 3 и результат разделить на 7.)

§ 175. Первый способ: посредством разложения знаменателя на простые множители.

Пусть требуется обратить дробь 7/40 в десятичную. Для этого зададимся вопросом: нельзя ли привести эту дробь к такому знаменателю, который выражался бы единицей с нулями. Если бы это оказалось возможным, то мы получили бы десятичную дробь, написанную при помощи числителя и знаменателя, а такую дробь мы затем не затруднились бы написать и без знаменателя. Чтобы привести несократимую дробь к другому знаменателю, надо оба ее члена умножить на одно и то же число (§ 132). Чтобы узнать, на какое число надо умножить 40 для получения единицы с нулями, примем во внимание, что всякое число, выражаемое единицей с пулями, разлагается только па множители 2 и 5, причем оба эти множителя входят в разложение одинаковое число раз, именно столько раз, сколько стоит пулей при единице.

Например:

1000 = 10 · 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5;

Заметив это, разложим 40 на простые множители:

40 = 2 · 2 · 2 · 5.

Из этого разложения видим, что если умножить 40 два раза на 5, то после умножения получится такое число, в которое 2 и 5 будут входить множителями одинаковое число раз ( по 3 раза); значит, тогда получится число, выражаемое единицей с нулями (с тремя нулями). Чтобы при этом дробь не изменила своей величины, надо и числитель ее умножить 2 раза на 5; тогда:

§ 176. Какие обыкновенные дроби обращаются в десятичные и какие не обращаются. Из указанного способа обращения обыкновенных дробей в десятичные можно вывести два следующих следствия:

1) Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких иных простых множителей, кроме 2 и 5, то такая дробь обращается в десятичную, причем эта десятичная дробь имеет столько десятичных знаков, сколько раз в знаменателе обыкновенной дроби после сокращения ее повторяется тот из множителей 2 и 5, который входит в него большее число раз.

Пусть, например, в знаменателе обыкновенной дроби после ее сокращения больше повторяется множитель 2 и пусть этот множитель входит 4 раза. Тогда придется добавлять множитель 5 столько раз, чтобы после добавления оба множителя (2 и 5) входили по 4 раза; значит, после умножения в знаменателе получится 1 с четырьмя нулями, а потому и десятичная дробь будет иметь 4 десятичных знака. Например:

2) Если знаменатель обыкновенной дроби содержит в себе какие-либо простые множители, отличающиеся от 2 и 5, и эти множители не сокращаются с числителем, то такая дробь не обращается в десятичную.

Возьмем, например, дробь 35/84, в которой знаменатель содержит простые множители 3 и 7 (именно 84 = 2 · 2 · 3 · 7). Один из них (7) сокращается; после сокращения получим 35/84. Так как 12 содержит множитель 3, то эта дробь не обращается в десятичную, потому что на какие бы целые числа мы ни умножали знаменатель ее, никогда не получим число, изображаемое единицей с нулями.

Такие дроби можно обращать лишь в приближенные десятичные, применяя второй способ обращения.

§ 177. Второй способ: посредством деления числителя на знаменатель.

Этот способ более употребителен, чем первый, так как он применим и к таким обыкновенным дробям, которые обращаются только в приближенные десятичные дроби.

Пусть требуется обратить дробь 23/8 в десятичную. Число 23/8 можно рассматривать как частное от деления 23 на 8 (§ 151, правило 1-е). Но частное от деления целых чисел, как мы видели, можно найти в виде десятичной дроби, точно или приближенно. Для этого надо только обращать остатки от деления в десятичные доли, все более и более мелкие, до тех пор, пока не получится в остатке нуль, или пока не получатся в частном доли того разряда, дальше которого не желают идти.


В нашем примере получилось точное частное: 23/8 = 2,875.

Пусть требуется обратить 3/14 в десятичную дробь. Так как 14 эта дробь несократима и знаменатель ее содержит простой множитель 7, отличный от 2 и 5, то ее нельзя обратить в десятичную; однако можно найти такую десятичную дробь, которая приблизительно равняется 3/14 и притом с какой угодно точностью. Если, например, мы желаем найти десятичную дробь, которая отличалась бы от 3/14 менее, чем на 0,001, то достаточно найти 3 десятичных знака от деления 3 на 14:

Приближенное частное 0,214 отличается от точного частного т. е. от 3/14, менее чем на половину тысячной. Если продолжать деление дальше, то погрешность становится все меньше и меньше. Однако деление никогда не может окончиться, потому что в противном случае мы получили бы десятичную дробь, которая в точности равняется 3/14, что невозможно; таким образом, продолжая деление, мы можем получить в частном сколько угодно десятичных знаков.

§ 178. Конечные и бесконечные десятичные дроби. Округление числа. Если простая дробь, например 3/14, не может быть представлена в виде десятичной дроби, то мы все же можем, как показано в § 177, производя деление 3 на 14, писать все новые и новые цифры частного, получая, таким образом, все новые и новые десятичные дроби; эти десятичные дроби дают все лучшие и лучшие приближения к числу 3/14; поэтому в этом случае условились говорить, что число 3/14 разлагается в бесконечную десятичную дробь.

3/14 = 0,214...;

здесь три точки означают, что ряд цифр частного не исчерпывается проставленными цифрами (2, 1, 4), а может быть продолжен без конца; поэтому с таким же правом мы могли бы написать:


В отличие от таких бесконечных десятичных дробей те десятичные дроби, которыми мы занимались до сих пор, называют конечными десятичными дробями.

Бесконечные десятичные дроби (а также и конечные с большим числом десятичных знаков) для практических надобностей приходится округлять, беря вместо точной дроби приближенную, с желаемой точностью, с недостатком или с избытком (§ 169). Так, если желаем ограничиться точностью до одной сотой, то вместо дроби

3,141592653...

берем приближение, 3,14 (с недостатком); если же по условиям вопроса желательна точность до одной тысячной, то берем 3,142 (с избытком).

§ 179. Периодические дроби. Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью, а совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби.

Периодические дроби бывают чистые и смешанные. Чистой периодической дробью называется такая, у которой период начинается тотчас после запятой, например 2,363636...; смешанной – такая, у которой между запятой и первым периодом есть одна или несколько цифр не повторяющихся, например 0,5232323.... Периодические дроби пишут сокращенно так:


т. е. заключают в скобки период.

§ 180. Бесконечная десятичная дробь, получающаяся при обращении обыкновенной дроби, должна быть периодической. Убедимся в этом свойстве на каком-нибудь примере. Пусть желаем обратить дробь в десятичную. Так как знаменатель 7 не составлен из множителей 2 и 5 и данная дробь несократима, то она не может обратиться в конечную десятичную дробь. Следовательно, она обращается в бесконечную десятичную дробь. Чтобы получить несколько ее первых десятичных знаков, станем делить 19 на 7. Так как деление не может окончиться


то остатков должно быть бесконечно много. Но остатки всегда меньше делителя; поэтому различных остатков не может быть больше шести следующих: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Из этого следует, что при достаточном продолжении деления остатки непременно начнут повторяться. Действительно, седьмой остаток оказывается такой же, как и первый. Но если повторился остаток, то, приписав к нему нуль, мы получим такое же делимое, какое было раньше (50); значит, в частном начнут получаться те же цифры, какие были раньше, т. е. в частном получится периодическая дробь. В нашем примере период начался с первой цифры после запятой, и потому получилась чистая периодическая дробь. В других примерах может случиться, что период начнется не с первой цифры, а, например, с третьей или с какой-нибудь иной; тогда получится смешанная периодическая дробь.

Математика: