Деление десятичных дробей

§ 169. Деление на целое число. Приближенное частное. Пусть требуется разделить 39,47 на 8. Расположим действие так,как оно располагается при делении целых чисел.

Деление десятичной дроби на целое

Делим 39 целых на 8; получаем в частном 4 целых и в остатке 7 целых. Раздробляем остаток в десятые доли и сносим 4 десятых делимого; получаем 74 десятых. Делим 74 десятых на 8; получаем в частном 9 десятых и в остатке 2 десятых. Раздробляем остаток в сотые доли и сносим 7 сотых делимого; получаем 27 сотых. Разделив их на 8, получаем в частном 3 сотых и в остатке 3 сотых.

Положим, что мы на этом прекратили действие. Тогда получим приближенное частное 4,93. Чтобы узнать, на сколько оно разнится от точного частного, найдем это точное частное и сравним его с приближенным. Чтобы получить точное частное, достаточно к числу 4,93 приложить дробь, которая получится от деления остатка (3 сотых) на 8. От деления 3 единиц на 8 поз 3 лучим 3/8 единицы; от деления 3 сотых на 8 получим 3/8 сотой. Значит, точное частное равно сумме 4,93 + 3/8 сотой. Отбросив 3/8 сотой, мы сделаем ошибку, которая меньше целой сотой. Поэтому говорят, что 4,93 есть приближенное частное с точностью до 1/100. Если вместо того, чтобы отбрасывать 3/8 сотой, мы дополним эту дробь до целой сотой доли (увеличив ее на 5/8 сотой), то сделаем ошибку тоже меньшую 1/100; тогда получим другое приближенное частное 4,93 + 0,01, т. е. 4,94, тоже с точностью до 1/100. Число 4,93 меньше, а 4,94 больше точного частного, а поэтому говорят, что первое число есть приближенное частное с недостатком, а второе – с избытком.

Если станем продолжать действие дальше, обращая остатки в десятичные доли, все более и более мелкие, то будем получать приближенные частные с большей точностью. Так, если обратим остаток 3 сотых в тысячные доли и разделим 30 тысячных на 8, то получим приближенное частное 4,933 (с недостатком) или 4,934 (с избытком), причем ошибка менее 0,001. Продолжая действие дальше, получим:

Деление десятичной дроби

Продолжая деление достаточно далеко, мы можем иногда дойти до остатка О (как в нашем примере); тогда получим точное частное. В противном случае приходится довольствоваться приближенным частным, причем ошибку можно сделать как угодно малой. Если., например, мы желаем найти приближенное частное с точностью до одной миллионной, то прекращаем деление тогда, когда в частном получилась цифра миллионных долей.

Правило. Деление десятичной дроби на целое число производится так же, как и деление целых чисел, причем остатки обращают в десятичные доли, все более и более мелкие, и действие продолжают до тех пор, пока или не получится точное частное, или в приближенном частном не получится цифра тех десятичных долей, которыми хотят ограничиться.

Так же поступают при делении целого числа на целое, если желают получить частное в виде десятичной дроби. Например, деление 123 на 7 можно выполнить так:

Деление десятичной дроби
Замечание. Для указания того, что какое-нибудь равенство не точное, а только приблизительное, употребляется иногда искривленный знак равенства ≈; так, если написано:

39,47 : 8 ≈ 4,93,

то этим хотят выразить, что частное от деления 39,47 на 8 приблизительно равно 4,93.

Величина погрешности приближенного частного

Когда остаток меньше половины делителя, тогда цифра частного, которая должна бы следовать за той, на которой мы остановились, очевидно, будет меньше 5, а если остаток больше половины делителя, то эта цифра должна быть 5 или больше 5.

§ 171. Деление на десятичную дробь. Пусть требуется разделить 3,753 на 0,85. Для этой цели перенесем в делимом и в делителе запятую вправо на такое одинаковое число десятичных знаков (в нашем примере 2), чтобы делитель обратился в целое число. Так как при этом делимое и делитель увеличатся в одинаковое число раз (в нашем примере в 100 раз), то частное от этого не изменится (§ 155). Таким образом, деление на десятичную дробь мы сведем к делению на целое число:

375,3 : 85 ≈ 4,415,

которое выполняется так, как указано было ранее.

Точно так же поступают при делении целого числа на десятичную дробь; например:

7 : 0,325 = 7000 : 325 ≈ 21,538.

Правило. Чтобы разделить какое-нибудь число на десятичную дробь, надо отбросить в делителе запятую и, увеличив делимое во столько раз, во сколько увеличился делитель отбрасыванием в нем запятой, разделить по правилу деления на целое число.

§ 172. Пример на вычисление с десятичными дробями. Пусть требуется вычислить дробь

Отбросим в этой дроби все запятые и посмотрим, как изменится от этого величина дроби. Числитель ее увеличится в 10 · 100 · 1000 раз, т. е. в 1000000 раз. Знаменатель увеличится в 100 · 10 · 10000 раз, т. е. в 10000000 раз. Чтобы величина дроби не изменилась, надо числитель увеличить еще в 10 раз, например, вместо числа 9, полученного отбрасыванием запятой в дроби 0,09, взять 90. Теперь вычислим выражение


сократив предварительно числа 75 и 18 на З,числа 90 и 27 на 9 и числа 3725 и 32675 на 25, получим
§ 173. Процентные вычисления с десятичными дробями. При процентных вычислениях, как мы видим, часто приходится умножать и делить на 100; а так как эти действия особенно просто выполняются над десятичными дробями, то при всякого рода процентных вычислениях пользование десятичными дробями оказывается особенно удобным. Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Сколько дохода принесет за 2 года и 3 месяца сумма в 728 рублей, положенная в сберегательную кассу?

Так как касса приносит 3% годового дохода, то годовой доход составляет 3%, или 0,03 числа 728, т. е.

728 · 0,03 = 21,84 (= 21р. 84к.).

Доход за 3 месяца, т. е. за 0,25 года, составит 0,25 годового дохода, т.е.

21,84 · 0,25 = 5,46 (= 5 р. 46 к.).

Доход же за 2 года и 3 месяца составит

21,84 · 2 + 5,46 = 49,14 (= 49р. 14к.).

Задача 2. 3,4% неизвестного числа составляет 1,6388. Найти это число.

По правилу § 149 мы должны разделить число 1,6388 на 3,4 и результат помножить на 100.

Находим:

Задача 3. В сберегательную кассу помещен вклад. Через 9 месяцев вклад взят обратно, причем вкладчику выдано 633 р. 95 к. Найти сумму первоначального вклада.

Годовой доход вкладчика составляет 3%, или 0,03 неизвестного вклада. Значит, доход за 9 месяцев т.е. за , или 0,75 года составит

0,03 · 0,75 = 0,0225 (= 2,25%)

неизвестного вклада. Таким образом, полученная вкладчиком сумма 633,95 рубля составляет 1,0225 (или 102,25%) неизвестного вклада. Чтобы найти этот вклад, мы должны разделить 633,95 на 1,0225:

Задача 4. Оборот магазина по плану составил 75300 рублей; на самом деле этот оборот составил 85842 рубля. На сколько процентов выполнен план?

Для решения этой задачи мы должны найти процентное от ношение чисел 85842 и 75300, т.е. выразить отношение в сотых долях; с этой целью проще всего выразить частное от деления данных чисел в виде десятичной дроби, как это показано в § 171:
= 1,14;
таким образом, план выполнен на 114%.