Изменение величины дроби с изменением ее членов

§ 125. Увеличение или уменьшение обоих членов дроби в одинаковое число раз.

Обратимся снова к рис. 2; в § 120 мы делили каждую четверть на 2 равные части; мы получили, таким образом, восьмые доли; в трех четвертях содержится 6 восьмых, и потому как мы видели, дробь 3/4 равна дроби 6/8.

Если каждую четверть разделим вместо двух на 3 равные части, то получим еще более мелкие доли, которых в целой единице будет 3 · 4, т. е. 12 (значит, это будут двенадцатые доли), а в трех четвертях их окажется 3 · 3, т. е. 9; тогда вместо 3/4 получим дробь 9/12, равную по величине дроби 3/4. Подразделяя, таким образом, каждую четверть на 2, на 3, на 4, на 5 и т. д. равных частей, мы получим ряд таких равных дробей:

Дроби одинаковой величины

Каждая из этих дробей, начиная со второй, получается из первой дроби 3/4 умножением ее числителя и знаменателя на одно и то же число: на 2, на 3, на 4 и т. д., значит, величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель ее умножить на одно и то же число (или – что то же – увеличить в одинаковое число раз).

В общем виде это свойство дроби можно выразить так:

Умножение числителя и знаменателя на одинаковое число

Отсюда следует, что величина дроби не изменится и тогда, если числитель и знаменатель ее разделить на одно и то же число (или – что то же – уменьшить в одинаковое число раз).

Например, заметив, что в дроби 30/40 оба члена делятся на 10, мы можем эту дробь заменить дробью 3/5, которая получится если числитель и знаменатель дроби 30/50 уменьшить в 10 раз.

§ 126. Увеличение или уменьшение одного члена дроби в несколько раз. Если числитель дроби увеличить (или уменьшить) в несколько раз, то дробь увеличится (или уменьшится) во столько же раз. Например, увеличив числитель дроби 4/10 в 3 раза, получим 12/10. Эта дробь больше прежней в 3 раза, потому что в ней в 3 раза более долей, а доли остались те же.

Если знаменатель дроби увеличить (или уменьшить) в несколько раз, то дробь уменьшится (или увеличится) во столько же раз. Например, увеличив знаменатель дроби 4/10 в 5 раз, получим 4/50. Эта дробь меньше прежней в 5 раз, потому что (согласно § 125) Умножение дроби на число в 5 раз больше, чем 4/50.

§ 127. Увеличение или уменьшение дроби в несколько раз. Зная, как изменяется дробь с изменением ее числителя и знаменателя, мы можем вывести следующие правила:

1) чтобы увеличить дробь в несколько раз, достаточно увеличить во столько же раз ее числитель, или уменьшить во столько же раз ее знаменатель;

2) чтобы уменьшить дробь в несколько раз, достаточно уменьшить во столько же раз ее числитель, или увеличить во столько же раз ее знаменатель.

Примеры:

Увеличение и уменьшение дробей

Конечно, уменьшение числителя в несколько раз (при уменьшении дроби) или уменьшение знаменателя в несколько раз (при увеличении дроби) возможно не во всех случаях (как это видно из приведенных примеров), а только тогда, когда числитель или знаменатель делятся на то число, которое показывает, во сколько раз надо уменьшить или увеличить дробь.

§ 128. Увеличение или уменьшение обоих членов дроби на одно и то же число. Положим, что к обоим членам дроби a/b мы прибавили одно и то же число m; тогда получим новую дробь (a+m)/(b+m). Сравним новую дробь с прежней. Для этого умножим оба члена прежней дроби на b + m, а оба члена новой на b:

Прибавление к числителю и знаменателю одного и того же числа

Теперь сравним между собой числители этих двух дробей, так как знаменатели их одинаковы:

a(b + m) = ab + am и (a + m)b = ab + bm.

Отняв от полученных сумм по ab, найдем am в первом случае и bm во втором. Если взятая дробь меньше единицы, т.е. если a < b, то тогда am < bm; значит, такая дробь от нашей операции увеличилась. Если же данная дробь больше единицы, т. е. a > b, то тогда am > bm; значит, такая дробь от нашей операции уменьшилась. Таким образом:

от прибавления к членам дроби одного и того же числа дробь, меньшая единицы, увеличивается, а дробь, большая единице, уменьшается.

Например если взять дробь 1/2 и к ее числителю и знаменателю прибавить по единице, то получим дробь , которая больше ; если же взять дробь и с ней проделать то же, то получится дробь , которая меньше 3/2.