Основные понятия об обыкновенных дробях

§ 115. Доли единицы. Мы уже встречались с такими единицами измерения, которые могут быть разделены на равные части. Так, 1 м может быть разделен на 100 см; одни сутки могут быть разделены на 24 часа.

Мы называем сантиметр сотой частью метра; точно так же мы называем час двадцать четвертой частью суток. Миллиметр составляет тысячную часть метра. Сутки составляют триста шестьдесят пятую часть простого (т.е. не високосного) года. Во всех этих случаях вместо «части» говорят иногда «доля» (это слово удобнее, потому что слово «часть» имеет в нашем языке и другое значение). Так, грамм есть тысячная доля килограмма, минута есть шестидесятая доля часа.

Вторая доля короче называется половиной, третья доля третью, четвертая доля четвертью.

§ 116. Дробное число. Одна доля или собрание нескольких одинаковых долей единицы называется дробью.

Например: 1 десятая, 3 пятых, 12 седьмых – дроби.

Целое число вместе с дробью составляет смешанное число; например 3 целых 7 восьмых (т. е. 3 целые единицы, к которым добавлено еще 7 восьмых долей единицы).

Дроби и смешанные числа называются дробными числами в отличие от целых чисел, составленных из целых единиц.

§ 117. Изображение дроби. Принято изображать дробь так: пишут число, показывающее, сколько долей содержится в дроби; под ним проводят черту; под чертой ставят другое число показывающее, на сколько равных частей разделена единица, от которой взята дробь. Например, 3 пятых изображают так: 3/5.

Число, стоящее над чертой, называется числителем дроби; оно показывает число долей, из которых составлена дробь. Число, стоящее под чертой, называется знаменателем дроби; оно показывает, на сколько равных частей была разделена единица. Оба эти числа вместе называются членами дроби.

Смешанное число изображают так: пишут целое число и к нему, с правой стороны, приписывают дробь; например число 3 и две седьмых изображают так: три целых две седьмых.

§ 118. Получение дробных чисел при измерении. Положим, мы желаем измерить какую-нибудь длину с помощью метра. Допустим, что метр в этой длине укладывается 7 раз, причем получается остаток, меньший метра. Чтобы измерить этот остаток, подыскиваем такую долю метра, которая, если возможно, уложилась бы в остатке без нового остатка. Пусть окажется, что десятая доля метра укладывается в остатке ровно 3 раза. Тогда говорим, что измеряемая длина равна семь целых три десятых метра.

Подобно этому дробные числа могут получаться при измерении веса (например две целых одна четвертая грамма грамма), при измерении времени (например 7/10 часа) и т. п.

Таким образом, дробное число может появиться как результат измерения.

§ 119. Получение дробных чисел при делении целого числа на равные части. Пусть требуется разделить 5 кг хлеба на 8 равных частей. Мы можем выполнить это деление так; вообразим, что каждый килограмм хлеба разделен на 8 равных частей (на восьмые доли); тогда в 5 кг хлеба таких долей окажется 8 · 5, т.е. 40, а в одной восьмой части 5 кг хлеба их должно быть 40 : 8, т. е. 5. Значит, восьмая часть 5 кг равна пять восьмых одного килограмма (и вообще восьмая часть 5 каких-нибудь единиц равна одной такой единицы).

Возьмем еще другой пример: требуется уменьшить в 5 раз число 28, т. е, вместо 28 требуется взять одну пятую часть этого числа. 28 есть сумма чисел 25 и 3. Пятая часть числа 25 равна 5. Чтобы найти пятую часть от 3, разделим каждую единицу на 5 равных частей; взяв от каждой единицы по одна пятая, найдем, что пятая часть трех единиц будет три пятых. Значит, пятая часть числа 28 равна пять целых три пятых.

Но можно найти пятую часть числа 28 еще и так: пятая часть одной единицы есть 1/5; пятая часть другой единицы есть также 1/5; если, таким образом, возьмем по пятой части от каждой из 28 единиц, то получим 28/5. Таким образом: чтобы разделить целое число на несколько равных частей, достаточно взять это целое число числителем дроби, а знаменателем написать другое число, показывающее, на сколько равных частей делится целое число.

Примеры. Одна двенадцатая часть числа 7 есть 7/12; четверть числа 15 есть 15/4; дробь 8/13 есть тринадцатая часть числа 8; дробь 29/6 есть одна шестая часть числа 29.

Следствие. Всякую дробь можно рассматривать не только как собрание нескольких одинаковых долей единицы, но и как одну долю нескольких целых единиц. Так, дробь 5/8 есть не только 5 восьмых долей одной единицы, но и одна восьмая доля 5 единиц.

§ 120. Равенство и неравенство дробных чисел. Два дробных числа считаются равными, если величины, выражаемые этими числами при одной и той же единице измерения, равны между собой.

Одинаковые дробные величины

Возьмем какую-нибудь дробь, например 3/4 (пусть это будет той длины, которая изображена на рис. 2). Разделим каждую четверть пополам. Мы получим тогда более мелкие доли; в одной четверти таких долей 2; значит в единице их содержится 2 · 4 = 8; следовательно, это – восьмые доли; в трех четвертях этих восьмых долей содержится 2 · 3 = 6; значит, дробь 3/4 равна дроби 6/8; этим мы хотим сказать, что две длины из которых одна составляет метра, а другая метра, равны между собой; или, что два веса, из которых один равен килограмма, а другой килограмма, равны между собой и т. п.

Из двух неравных дробных чисел большим считается то, которое выражает большую величину при одной и той же единице измерения. Так, если мы говорим, что сравнение дробей, мы желаем этим выразить, что, например, 1/5 грамма больше, чем 1/8 грамма, часа больше, чем часа и т. п.

Если же у двух дробей числители одинаковы, то большем будет та из них, у которой меньше знаменатель, потому что она содержит одинаковое число более крупных долей единицы,чем другая. Так, 2/3 больше, чем 2/5.

§ 121. Дробь правильная и неправильная. Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной: дробь же, у которой числитель больше знаменателя или же равен ему, называется неправильной. Очевидно, правильная дробь меньше единицы, а неправильная больше нее или равна ей; например:

Сравнение дробей
§ 122. Обращение целого числа в неправильную дробь. Всякое целое число можно выразить в каких угодно долях единицы. Пусть, например, требуется выразить 8 в двадцатых долях. В одной единице заключается 20 двадцатых; следовательно, в 8 единицах их будет 20 · 8, т.е. 160. Значит,

Представление целого числа в виде дроби

Подобным образом число 25 в четвертых долях выразится 100/4, число 100 в семнадцатых долях выразится 1700/17 и т. п.

Правило. Чтобы выразить целое число в виде неправильной дроби с данным знаменателем, надо этот знаменатель умножить на данное число и полученное произведение взять числителем, а знаменатель написать данный.

Замечание. Целое число иногда бывает полезно изобразить в виде такой дроби, у которой числитель равен этому полому числу, а знаменатель есть единица. Так, вместо 5 пишут иногда 5/1 (пять первых). Чтобы придать смысл таким выражениям, уславливаются, что «первая» часть числа есть само число.

§ 123. Обращение смешанного числа в неправильную дробь. Пусть требуется обратить смешанное число 8 целых три пятых в неправильную дробь. Это значит узнать, сколько пятых долей заключается в восьми целых единицах вместе с тремя пятыми долями той же единицы. В одной единице содержится 5 пятых долей; следовательно, в восьми единицах их будет 5 · 8, т.е. 40; значит, в восьми единицах вместе с тремя пятыми таких долей окажется 40 + 3, т.е. 43.

Итак, перевод в неправильные дроби. Подобно этому:

перевод в неправильные дроби
Правило. Чтобы смешанное число обратить в неправильную дробь, умножают целое число на знаменатель, к полученному произведению прибавляют числитель и эту сумму берут числителем искомой дроби, а знаменатель оставляют прежний.

§ 124. Обращение неправильной дроби в смешанное число. Пусть требуется неправильную дробь 100/8 обратить в смешанное число, т. е, узнать, сколько в этой неправильной дроби заключается целых единиц и сколько еще восьмых долей, не составляющих единицы. Так как единица заключает в себе 8 восьмых, то в 100 восьмых содержится столько единиц, сколько раз 8 восьмых содержится в 100 восьмых. 8 восьмых в 100 восьмых содержатся 12 раз, причем 4 восьмых остаются. Значит, 100 восьмых содержат 12 целых единиц и еще 4 восьмых доли. Итак,

Выделение целой части из дроби
Правило. Чтобы неправильную дробь обратить в смешанное или целое число, делят числитель на знаменатель; целое частное от этого деления покажет, сколько целых единиц, а остаток, сколько еще долей единицы в смешанном числе.

Обращение неправильной дроби в смешанное число иногда называют также исключением целого числа из этой дроби.