О делимости чисел

§ 81. Предварительные замечания. Из четырех арифметических действий два – сложение и умножение – могут быть выполнены всегда (т. е. над любыми числами). Вычитание хотя и не всегда может быть выполнено, но признак его выполнимости очень прост: уменьшаемое не должно быть меньше вычитаемого; поэтому если даны два числа, мы всегда сразу можем узнать, можно ли из первого вычесть второе.

Совсем иначе обстоит дело с делением; мы знаем, что деление (без остатка) не всегда может быть выполнено; но иногда бывает очень трудно, не производя деления, узнать, делится ли одно число на другое. Поэтому с действием деления связаны самые трудные вопросы арифметики. Некоторые из этих вопросов мы рассмотрим в настоящем отделе.

Когда одно число делится на другое без остатка, то для краткости говорят просто, что первое число делится на второе. В этом случае говорят также, что первое число есть кратное второго, а второе есть делитель первого. Так, 15 есть кратное трех, а 3 есть делитель 15.

Заметим, что нуль делится на любое число (кроме нуля), причем частное также равно нулю. В самом деле, так как a · 0 = 0, каково бы ни было число a, то 0 : а = 0.