Деление дробных чисел

§ 150. Определение. Деление есть действие (обратное умножению), состоящее в том, что по данному произведению двух сомножителей (делимому) и одному из этих сомножителей (делителю) отыскивается другой сомножитель (частное).


Так как множимое и множитель могут меняться местами, то величина частного не зависит от того, означает ли это частное множимое или множитель.

Замечания. 1) В арифметике целых чисел это определение применимо только к делению без остатка; в арифметике же дробных чисел это определение, как мы увидим, применимо всегда, за исключением случая, когда делитель равен нулю.

2) От деления па правильную дробь число увеличивается, а от деления на неправильную дробь число уменьшается... если эта неправильная дробь больше единицы, и остается без изменения, если опа равна единице.

§ 151. Вывод правил деления. При делении могут представиться 5 следующих случаев.

1) Деление целого числа на целое. Такое деление было рассмотрено в арифметике целых чисел. Но там точное деление не всегда было возможно, так как делимое не всегда есть произведение делителя на целое число; поэтому в общем случае приходилось рассматривать деление с остатком. Теперь же, допустив умножение на дробь, мы всякий случай деления целых чисел можем считать возможным, за исключением деления на нуль, которое и здесь остается невозможным. Пусть, например, требуется разделить 5 на 7, т. е. найти число, произведение которого на 7 дает 5.

Правило 1-е. Чтобы разделить целое число на целое, надо составить дробь, числитель которой равен делимому, а знаменатель – делителю.

Заметим, что в области целых чисел деление без остатка называется иначе делением «нацело», так как в частном получается целое число, а не дробное.

2) Деление дроби на целое число. Пусть требуется разделить 8/9 на 4, т. е. требуется найти число, которое надо умножить на 4, чтобы получить 8/9.

Так как от умножения на 4 всякое число увеличивается в 4 раза, то, значит, искомое число, увеличенное в 4 раза, должно составлять 8/9, и потому, чтобы найти его, достаточно дробь 8/9 уменьшить в 4 раза. Чтобы уменьшить дробь в 4 раза, надо уменьшить в 4 раза ее числитель или увеличить в 4 раза ее знаменатель (§ 127). Поэтому

Деление на целое
Правило 2-е. Чтобы разделить дробь на целое число, надо разделить на это целое число числитель дроби (если это возможно), оставив тот же знаменатель, или умножить на это целое число знаменатель дроби, оставив тот же числитель.
Деление целого числа на дробь
Правило 3-е. Чтобы разделить целое число на дробь, надо умножить это целое число на знаменатель данной дроби и это произведение взять числителем, а знаменателем сделать числитель данной дроби.

Деление дроби на дробь
Правило 4-е. Чтобы разделить дробь на дробь, надо умножить числитель первой дроби на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби на числитель второй и первое произведение взять числителем, а второе знаменателем.

Замечание. Под это правило можно подвести и все предыдущие случаи, если только целое число будем рассматривать как дробь со знаменателем единица. Так,

Деление дробей

Таким образом, правило деления дробей во всех случаях можно выразить таким буквенным равенством

Общая формула деления дробей

5) Деление смешанных чисел.

Правило 5-е. Чтобы разделить смешанные числа, надо обратить их в неправильные дроби и затем разделить по правилам деления дробей.

Например:

§ 152. Замена деления умножением. Если переставим в данной дроби числитель на место знаменателя и наоборот, то дробь, получившаяся после этой перестановки, называется обратной по отношению к данной. Так, для 7/8 обратная дробь будет 8/7. Целое число также имеет обратную дробь; например, для 5 или для 5/1 обратная дробь будет 1/5. Поэтому обратные дроби удобнее называть обратными числами. Число, обратное данному, можно определять и как частное от деления единицы на данное число. Так, число, обратное 7/8, есть
Нахождение обратных чисел

Очевидно, что произведение любого числа на обратное ему число равно единице.

Условившись в этом, можем высказать такое правило деления:

чтобы разделить одно число на другое, можно делимое умножить на число, обратное делителю.

В верности этого правила легко убедиться из следующих примеров:

§ 153. Сокращение при делении. При делении дробных чисел, если возможно, следует делать предварительное сокращение, как показано в следующих примерах:
Сокращение дробей при делении

Такое сокращение возможно делать потому, что величина дроби не изменяется, если числитель и знаменатель ее уменьшены в одинаковое число раз.

§ 154. Как разделить на произведение. То свойство деления (без остатка), которое было нами указано для целых чисел (§ 76), принадлежит и дробным числам, а именно:

чтобы разделить какое-нибудь число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т. д.


т. е. мы получим одно и то же число, как деля сразу на произведение, так и деля последовательно на каждый сомножитель.

§ 155. Изменение частного с изменением данных чисел. При изменении делимого или делителя частное от деления дробных чисел изменяется совершенно так же, как и частное от деления целых чисел (§ 77), а именно:

если увеличить (или уменьшить) делимое в несколько раз, то частное увеличится (или уменьшится) во столько же раз; если увеличить (или уменьшить) делитель в несколько раз, то частное уменьшится (или увеличится) во столько же раз.

Обратим особое внимание на то, что

если увеличить или уменьшить в одинаковое число раз и делимое и делитель, то частное не изменится;

Свойство дробей
§ 156. Отношение двух чисел. После введения дробных чисел деление, как мы видели, становится действием всегда возможным (за исключением деления на нуль). Значит, если даны два числа, то существует частное от деления первого числа на второе (если только второе число не нуль).

Частное от деления одного числа на другое иначе называется отношением этих чисел. Первое число (делимое) называется предыдущим членом отношения; второе число (делитель) называется последующим членом отношения.

Так, отношением чисел 2 и 1/7 служит частное

2 – предыдущий член этого отношения, 1/7 его последующий член. Если отношение двух чисел есть число целое, то оно показывает, сколько раз последующий член содержится в предыдущем (так, в § 108 мы называли уже отношение двух однородных мер число, показывающее, сколько раз меньшая мера содержится в большей); выражения и тогда, если отношение число дробное; так, в рассмотренном примере мы говорим, что число 1/7 содержится в числе 2 семнадцать с половиной раз.

В приложениях часто приходится рассматривать отношение двух именованных чисел одного и того же наименования. Пусть, например, требуется узнать, во сколько раз 4 1/4 кг превышают 2 кг. Ответ дается отношением чисел 4 1/4 и 2; но члены этого отношения часто пишут вместе с их наименованием, т. е.

само число 1 7/10 при этом – отвлеченное так как оно показывает, сколько раз один вес содержится в другом.

Так как отношение чисел есть частное этих чисел, в котором делимым служит предыдущий член, а делителем – последующий, то оно и обладает всеми свойствами частного; из этих свойств напомним следующие:

1) предыдущий член отношения может быть любым числом; последующий член может быть любым числом, кроме нуля;

2) предыдущий член равен последующему, умноженному на отношение;

3) последующий член равен предыдущему, деленному на отношение;

4) отношение не изменится, если оба его члена умножить или разделить на одно и то же число.

Из свойства 4) следует, что отношение с дробными членами можно заменить отношением целых чисел. Пусть, например, дано отношение ; умножая оба члена этого отношения на наименьший общий знаменатель данных дробей, т. е. на 24, мы заменяем данное отношение равным ему отношением 10 : 9, членами которого служат уже целые числа.

Подобным же образом

Замечания.

1. Отношение двух чисел, которое мы определили., иногда называют кратным, или геометрическим, отношением, в отличие от разностного, или арифметического, отношения двух чисел, которое определяется как разность этих чисел. В дальнейшем под отношением мы всегда будем подразумевать кратное отношение.

2. Если переставить члены отношения, т. е. предыдущий член сделать последующим и наоборот, то полученное новое отношение называется обратным прежнему.

3. Отношение именованных чисел всегда может быть заменено отношением отвлеченных чисел. Для этого достаточно выразить именованные числа в одной и той же единице и взять отношение получившихся отвлеченных чисел. Например, отношение 10 т 5 ц к 7 ц равно отношению 105 ц к 7 ц, а это отношение равно отношению отвлеченных чисел 105 к 7. При действиях над именованными числами отношением обычно называют лишь частное от деления двух однородно именованных чисел.

Число, показывающее, сколько процентов данное число составляет от другого числа., называется процентным отношением этих чисел. Рассмотренный пример показывает, что для нахождения процентного отношения двух чисел надо умножить отношение этих чисел па 100.


Рассмотрим две задачи.

Задача 1. Хозяйство имеет 80 000 га земли, из них 69 200 га засеяны пшеницей. Какой процент общей площади занимают пшеничные поля?

Для решения задачи надо найти, сколько процентов от числа 80 000 составляет число 69 200. Иначе говоря, надо найти процентное отношение чисел 69 200 и 80 000. По установленному правилу находим:

Задача 2. Из 325 кг муки получено 429 кг хлеба. Найти процент припека.

Решение. Припек составляет 429 – 325 = 104 (кг).

Для решения задачи надо найти процентное отношение чисел 104 и 325; по установленному правилу находим:
· 100 = 32%.