Деление

§ 60. До сих пор мы всегда считали все сомножители данными, а произведение - искомым. Но есть очень много задач, в которых, наоборот, произведение двух чисел дано, а одно из этих чисел – неизвестно.

Задача 1. В классе роздали 75 тетрадей по 3 тетради каждому ученику. Сколько учеников в классе?

Если число тетрадей, полученных одним учеником (т. е. 3), умножить на неизвестное число учеников, то мы должны получить общее число розданных тетрадей (т. е. 75). Таким образом, здесь даны произведение (75) и один из сомножителей (3), а ищется другой сомножитель. Искомое число учеников равно 25, так как 3 · 25 = 75.

Задача 2. В классе 30 учеников. Если им поровну раздать 120 листов бумаги, то сколько получит каждый?

Если неизвестное число листов, полученных каждым учеником, умножить на число учеников (30), то мы должны получить общее число розданных листов бумаги (т. е. 120). Таким образом, здесь снова даны произведение (120) и один из сомножителей (30), а ищется другой сомножитель. Каждый ученик получит по 4 листа, так как 4 · 30 = 120.

§ 61. Действие, состоящее в отыскании одного из сомножителей по данному произведению и другому сомножителю, называется делением.

При этом данное произведение называется делимым, данный сомножитель – делителем, а искомый сомножитель – частным.

Для решения первой задачи надо 75 разделить на 3; здесь делимое 75, делитель 3, частное 25.

Для решения второй задачи надо 120 разделить на 30; здесь делимое 120, делитель 30, частное 4.

Деление обозначается либо знаком :, разделяющим делимое и делитель (делимое слева, делитель справа), либо горизонтальной чертой, также разделяющей делимое и делитель (делимое сверху, делитель снизу). Таким образом, каждое из равенств

Деление

означает, что число 75 при делении на число 3 дает в частном число 25.

§ 62. Примечание. Так как при перемене мест сомножителей произведение не меняется (переместительный закон умножения), то для результатов деления безразлично, какой из двух сомножителей – множимое или множитель – является данным и какой – искомым. Но если мы хотим учитывать предметное содержание решаемой задачи, то оно в этих двух случаях может оказаться совершенно различным. Так, в задаче первой ищется, сколько раз надо взять по 3 (тетради), чтобы составилось 75 (тетрадей); здесь дано множимое (3), ищется множитель. Напротив, в задаче второй ищется, какое число (листов бумаги) надо взять 30 раз, чтобы получить 120 (листов); здесь дан множитель 30, ищется множимое.

Можно, таким образом, сказать, что одним и тем же арифметическим действием – делением – решаются две различные по своему содержанию задачи.

§ 63. На нуль делить нельзя. При всяком делении делителем может быть любое число, кроме нуля. На нуль делить нельзя.

Рассмотрим, почему это так. Если делимое не нуль, а любое другое число, например 5, то разделить его на нуль значило бы найти такое число, которое после умножения на нуль дает 5; но такого числа нет, потому что всякое число после умножения на нуль дает снова нуль. Если же делимое тоже равно нулю, то деление возможно, но частным может служить любое число, потому что в этом случае любое число после умножения на делитель (0) дает нам делимое (т. е. снова 0); таким образом, в этом случае деление хотя и возможно, но не приводит к единственному определенному результату.

Поэтому нуль не может быть делителем.

§ 64. Деление с остатком. Деление двух чисел не всегда возможно. Так, 27 нельзя разделить на 6, потому что нет такого целого числа, которое при умножении на 6 давало бы 27. Говорят, что 27 не делится на 6.

Если мы хотим, например, 27 тетрадей раздать поровну шести ученикам, то этого сделать нельзя; мы можем раздать ученикам по 4 тетради, что составит 24 тетради; 3 тетради при этом останутся нерозданными.

Условились и в этом случае говорить о делении 27 на 6; по-прежнему 27 называют делимым, 6 делителем; число 4 называют неполным частным, а число 3 остатком от деления. Само деление в этом случае называется делением с остатком. Таким образом: при делении с остатком неполным частным называют наибольшее число, которое при умножении на делитель дает произведение, не превосходящее делимого. Разность между делимым и этим произведением называют остатком.

Отсюда следует, что остаток всегда меньше делителя.

Деление с остатком можно записывать так:

27 : 6 = 4 (остаток 3).

Вот еще примеры деления с остатком:

Деление с остатком
§ 65. Общее определение деления целых чисел. В области целых чисел делению без остатка и делению с остатком можно дать следующее общее определение: разделить число a (делимое) на число b (делитель) – значит, найти такие два числа q (частное) и r (остаток), которые удовлетворяли бы соотношениям:

a = bq + r и r < b.

Так как равенство a = bq + r выражает, что

Формула деления

и так как при этом r < b, то частное q, очевидно, показывает, какое наибольшее число раз делитель содержится в делимом.

Легко убедиться, что если делитель b не равен нулю, то так определенное действие деления всегда возможно и всегда дает единственный результат. Действительно:
1) если a < b, то q = 0 и r = a, и только эта пара чисел удовлетворяет определению;
2) если a = b, то q = 1 и r = 0, и никакая другая пара чисел не удовлетворяет определению; наконец,
3) если a > b, то частное q, как мы видели, показывает, какое набольшее число раз делитель b содержится в делимом a; поэтому, если только b не равно нулю, это частное всегда существует, и ясно, что оно может быть только одно; но тогда и остаток r существует (он равен разности a – bq) и может быть только один.

Заметим еще, что остатком при делении на число b может быть любое число из ряда

0, 1, 2, … , b – 1.

Отсюда следует, что число различных остатков, которые могут получиться при делении на число b, равно b.

§ 66. Сравнение деления с умножением. При умножении двух чисел отыскивается их произведение, а при делении (без остатка) оно дается, а отыскивается то число, которое при умножении дается (множимое или множитель). Значит, деление есть действие, обратное умножению (и умножение обратно делению).
Если при делении получается остаток, то делимое не равно произведению делителя на частное, а равно этому произведению, сложенному с остатком.

Так, 27 = 6 · 4 + 3.

§ 67. Задачи, которые решаются при помощи деления. Вот несколько типичных задач, при решении которых пользуются делением.

1) Когда надо узнать, сколько раз большее число содержит в себе меньшее, или, что то же, во сколько раз одно число больше или меньше другого: например, сколько раз 20 рублей содержат в себе 5 рублей.

2) Когда требуется данное число разложить на несколько ровных частей: например, когда требуется 60 листов бумаги разложить на 12 равных частей (короче: найти двенадцатую часть 60 листов).

3) Когда надо уменьшить данное число в несколько раз, потому что уменьшить, например, 60 листов бумаги в 12 раз значит, вместо 60 листов взять одну двенадцатую часть 60 листов.

§ 68. Деление можно выполнять посредством сложения, вычитания и умножения. Пусть, например, требуется разделить 212 на 53. Искомое частное мы можем найти:

1) Сложением:

53 + 53 = 106; 106 + 53 = 159; 159 + 53 = 212.

Оказывается, что 53 надо повторить слагаемым 4 раза, чтобы получить 212; значит, искомое частное есть 4.

2) Вычитанием:

Нахождение частного вычитанием

Оказывается, что 53 от 212 можно отнять 4 раза; значит, искомое частное есть 4.
3) Умножением:

53 · 2 = 106; 53 · 3 = 159; 53 · 4 = 212.

Искомое частное есть 4. Однако эти способы неудобны, если частное – большое число; арифметика указывает более простой прием, который мы теперь и рассмотрим.

§ 69. Как узнать, будет ли частное однозначное. Для этого стоит только умножить (в уме) делитель на 10 и сравнить полученное произведение с делимым.
Пример 1. 534 : 68 = ?

Если 68 умножим на 10 (т. е. припишем к числу 68 нуль с правой стороны), то получим 680; но 534 меньше 680; поэтому частное должно быть меньше 10; значит, оно должно быть числом однозначным.
Пример 2. 534 : 37 = ?

Если 37 умножим на 10, то получим 370; но 534 больше 370; поэтому частное не может быть меньше 10; значит, оно не может быть однозначным числом.

§ 70. Нахождение однозначного частного. Рассмотрим два случая: когда делитель тоже однозначный и когда делитель многозначный.

1) Когда делитель и частное оба однозначные числа, то частное находится по таблице умножения. Например, частное от деления 56 на 8 будет 7, потому что семью восемь равно как раз 56;

частное от деления 42 на 9 равно 4, потому что четырежды девять равно 36, что меньше 42, а пятью девять составляет 45, что больше 42; значит, в частном надо взять 4, причем в остатке получится 42 – 36 = 6.

2) Когда делитель состоит из нескольких цифр, а частное из одной цифры, то это частное находится посредством испытания одной или нескольких цифр.

Пример. 43530 : 6837.

Прежде всего приемом, указанным в § 69, убеждаемся, что частное однозначно. Затем мысленно отбросим в делителе все цифры, кроме первой слева, т. е. оставим в делителе только 6 тысяч. В делимом мысленно отбросим справа столько же цифр, сколько их отбросили в делителе, т. е. оставим в делимом только 43 тысячи. Зададимся теперь вопросом: на какое число надо умножить 6, чтобы получить 43 или число, меньшее 43, но возможно близкое к 43? Из таблицы умножения находим, что такое число есть 7, так как семью шесть равно 42, а восемью шесть равно 48. Значит, искомое частное должно быть 7 или меньше 7 (меньше 7 оно может оказаться потому, что мы в делимом и делителе ряд цифр отбросили). Начнем испытание с числа 7. Для этого умножим 6837 на 7; если получим больше 43530, то число 7 не годится; тогда испытаем следующее меньшее число 6:

Произведение 6837 · 7 оказалось больше 43530, а произведение 6837 · 6 меньше этого числа; значит, частное должно быть 6, причем получится остаток 2508.

(Для сокращения работы, прежде чем писать в частном испытуемую цифру и умножит на нее весь делитель, иногда бывает целесообразно умножить на нее в уме только первые 2 цифры делителя и сравнивать полученное произведение с соответствующими разрядами делимого.)

Замечание. В некоторых случаях первую цифру для испытания удобнее находить иначе. Так, заметив, что во взятом нами примере делитель 6837 мало отличается от 7 тысяч 1во всяком случае меньше, чем от 6 тысяч), узнаем, на какое число надо умножить 7, чтобы получить число, возможно близкое к 43. По таблице умножения находим, что такое число есть 6. Значит, частное должно быть 6 или больше 6 (потому что делитель меньше 7 тысяч). Начнем испытание с числа 6. Для этого умножим делитель на 6 и вычтем произведение из делимого; если останется больше 6837, то число 6 мало и тогда надо испытать число 7; а если останется меньше 6837, то число 6 найдено верно. Остаток оказался 2508; значит, число 6 найдено верно.

Так полезно поступать тогда, когда вторая цифра делителя больше 5. Например, делитель 6837, благодаря тому, что у него вторая цифра более 7, ближе подходит к 7000, чем к 6000.

§ 71. Нахождение частного в общем случае. Пусть требуется разделить 64528 на 23. Будем для большей ясности представлять себе это действие как разложение числа 64528 на 23 равные части.

1) Сначала возьмем из нашего числа 64 тысячи и попытаемся разложить их на 23 равные части, на каждую часть придется 2 тысячи, и останется еще 18 тысяч неразделенных.

2) Эти оставшиеся 18 тысяч составляют 180 сотен; к ним мы прибавим еще те 5 сотен, которые имеются в данном числе; получившиеся теперь 185 сотен попытаемся снова разложить на 23 равные части; на каждую часть придется 8 сотен, и 1 сотня останется неразделенной.

3) Эта оставшаяся сотня составляет 10 десятков; к ним мы прибавим еще те 2 десятка, которые имеются в нашем числе; полученные 12 десятков мы пытаемся разложить на 23 равные части, причем ни одного десятка на каждую отдельную часть не приходится, а все 12 десятков остаются неразделенными.

4) Эти оставшиеся 12 десятков составляют 120 единиц; к ним мы прибавим еще те 8 единиц, которые имеются в нашем числе. Полученные 128 единиц пытаемся разложить на 23 равные части; при этом на каждую часть приходится 5 единиц, и 13 единиц остаются неразделенными.

Таким образом, всего на долю каждой части приходится 2 тысячи, 8 сотен и 5 единиц, причем 13 единиц остаются неразделенными. Это значит, что частное от деления 64528 на 23 равно 2805, а остаток 13.

Действия при этом обычно располагаются так:

Деление в столбик

При этом мы видим: 1) числа, из которых последовательно складывается частное, представляют собой единицы различных разрядов (2 тысячи 8 сотен 0 десятков 5 единиц); поэтому, вместо того, чтобы выписывать их полностью (2000 + 800 + 5), мы можем просто писать соответствующие цифры друг за другом как это и показано в записи; при этом необходимо ставить нуль всякий раз когда при делении не получается значащей цифры (десятки в нашем примере); 2) получив остаток от какого нибудь-деления (например в нашем случае 18 при первом делении), для раздробления его в следующий, низший разряд и прибавления числа единиц этого разряда, имеющихся в делимом, мы можем просто «снести» соответствующую цифру делимого (5 в нашем примере) и приписать ее справа к полученному остатку, как это в нашей записи показано пунктиром.

Благодаря этим упрощениям деление при некотором навыке может производиться с большой быстротой.

Вот еще три примера деления:

Примеры деления в столбик

§ 72. Сокращенный способ деления на однозначное число. Когда делитель однозначный, то для сокращения письма полезно привыкнуть производить в уме все вычитания, выписывая только остатки.

Например так:

Здесь цифра 5 под чертой означает последний остаток.

§ 73. Случай, когда делитель оканчивается нулями. Деление упрощается в том случае, когда делитель оканчивается нулем или несколькими нулями. Возьмем сначала случай, когда делитель есть единица с нулями. Разделить какое-нибудь число на 10, на 100, на 1000 и т. д., значит, узнать, сколько в этом чисто заключается десятков, сотен, тысяч и т.д. Но это легко узнается по правилу нумерации, указанному нами ранее (§ 13). Например:

54634 : 10 = 5463 (остаток 4)
54634 : 1000 = 54 (остаток 634).

Правило. Чтобы разделить число на единицу с нулями, достаточно отделить в делимом справа столько цифр, сколько нулей в делителе; тогда оставшиеся цифры делимого представят собой частное, а отделенные – остаток.

Возьмем теперь случай, когда делитель есть какое-нибудь число, оканчивающееся нулями; например:

Делитель представляет собой 73 сотни. Чтобы узнать, сколько раз 73 сотни содержатся в делимом, разобьем его на две части: на сотни и единицы. Первая часть есть 3892 сотни, вторая часть – 24 единицы. 73 сотни могут содержаться только в одной из этих частой, именно в сотнях.

Но 73 сотни содержатся в 3892 сотнях столько раз, сколько раз 73 каких-нибудь единиц содержатся в 3892 таких же единицах. Поэтому мы делим 3892 на 73, не обращая внимания на то, что это сотни.

Разделив, находим, что 73 сотни в 3892 сотнях содержатся 53 раза, причем 23 сотни остаются. Приложив к 23 сотням 24 единицы делимого, получим 2324; в этом число 73 сотни не содержатся ни разу; следовательно, 2324 будет остатком.

Вот еще пример, в котором и делимое и делитель оканчиваются нулями:

Правило. Если делитель оканчивается нулями, то мысленно отбрасывают в нем эти нули и в делимом мысленно отбрасывают справа столько цифр, сколько в делителе отброшено нулей; оставшиеся числа делят и к остатку сносят отброшенные цифры делимого.

§ 74. Проверка умножения. Так как произведение не изменяется от перемены мест сомножителей, то для проверки умножения можно произвести его во второй раз, умножая множитель на множимое.

Например:

Оба произведения оказались одинаковыми; следовательно, весьма вероятно, что действие сделано верно.

Умножение можно проверить и делением. Для этого надо разделить полученное произведение на один из сомножителей; если в частном получится другой сомножитель, то можно считать вероятным, что умножение было сделано верно.

§ 75. Проверка деления. Деление можно проверять умножением, основываясь на том, что делимое должно равняться делителю, умноженному на частное (плюс остаток, если он есть).

Например:

Проверка деления умножением

Мы умножили частное 199 на делитель 42 и к полученному произведению приложили остаток 17. Так как после этого получилось число, равное делимому, то весьма вероятно, что действие сделано верно.

Если деление произведено без остатка, то его можно проверить и делением. В самом деле, так как делимое есть произведение делителя и частного, то при делении делимого на частное должен получиться делитель.

Например:

Проверка деления делением
§ 76. Как разделить на произведение. Пусть требуется разделить 60 на произведение 5 · 3, т.е. на 15. Для этого достаточно разделить 60 на 5 и полученное частное разделить еще на 3:

60 : 5 = 12; 12 : 3 = 4.

Всего проще объяснить, почему такое двойное деление (на 5 и на 3) дает надлежащий результат, если будем рассматривать деление как разложение делимого на равные части. Тогда можно сказать, что первым деление (на 5) мы разлагаем 60 на 5 равных частей, причем в каждой части получается 12; вторым делением (на 3) мы разлагаем 12 на 3 равные части, причем в каждой части получается по 4. Это можно наглядно изобразить так:

Отсюда видно, что после двух этих делений число 60 оказывается разложенным на 15 равных частей.

Подобным же образом можем разъяснить, что для деления числа 300 на произведение трех множителей 3 · 5 · 4, можно разделить 300 на 3 (получим 100), затем это частое разделить на 5 (получим 20), наконец, последнее частое разделить на 4 (получим 5). Таким образом,

чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно разделить это число на первый сомножитель, полученное частное разделить на второй сомножитель, это частное на третий и т.д. (предполагается при этом, что каждое деление выполняется без остатка).

Этим свойством можно иногда пользоваться при устном делении; например, чтобы разделить 1840 на 20, мы принимаем во внимание, что 20 = 10 · 2, и делим 1840 на 10 (получим 184) и найденное число на 2 (получим 92); подобно этому, чтобы разделить какое-нибудь число на 8, т. е., на произведение, равное 2 · 2 · 2, можно делимое разделить на 2, потом еще на 2 и еще на 2.

§ 77. Изменение частного с изменением делимого и делителя.

1) Если увеличим (или уменьшим) делимое в несколько раз, то частное увеличится (или уменьшится) во столько же раз.

Так, если в примере 20 : 5 = 4 мы увеличим делимое, положим, в 3 раза, т.е. вместо 20 возьмем в делимом 20 + 20 + 20, то получим: 60 : 5 = 12. Новое частное оказалось больше прежнего в 3 раза, потому что если 5 в 20 содержится 4 раза, то 5 в сумме 20 + 20 + 20 должно, очевидно, содержаться 4 раза, да еще 4 раза, да еще 4 раза, т. е. в 3 раза более, чем оно содержится в 20.

2) Если увеличим (или уменьшим) делитель в несколько раз, то частное уменьшится (или увеличится) во столько же раз.

Так, если в примере 60 : 5 = 12 увеличим делитель, положим, в 3 раза, т. е. вместо 5 возьмем делителем 15, то получим 60 : 15 = 4. Новое частное оказалось меньше прежнего в 3 раза. Так оно и должно быть, потому что 15 есть произведение 5 · 3, а чтобы разделить на произведение, можно разделить делимое на первый сомножитель (на 5) и полученное число (12) разделить затем на второй сомножитель (на 3), отчего оно уменьшится (в 3 раза).

Предполагается при этом, что деление совершается без остатка. Если же есть остаток, то частное может измениться иначе, чем было сейчас указано. Возьмем, например, такое деление: 23 : 5 = 4 (остаток 3), и увеличим делимое в 3 раза. Получим: 69 : 5 = 13 (остаток 4); частное увеличилось более, чем в 3 раза.

Замечание. Когда делимое и делитель изменяются одновременно, то частное может иногда увеличиться, иногда уменьшиться, или же остаться без изменения. Чтобы узнать заранее, как изменится частное, надо предположить, что сначала изменено только делимое, а потом и делитель (сравните § 53).

Следует обратить особое внимание на те случаи, когда частное остается без изменения.

3) Частное не изменяется, когда делимое и делитель увеличены в одинаковое число раз,

потому что от увеличения делимого частное увеличивается, а от увеличения делителя оно уменьшается во столько же раз. Так, если в примере 60 : 15 = 4 увеличим делимое и делитель в 5 раз, то получим 300 : 75 = 4.

4) Частное не изменяется, когда делимое и делитель уменьшены в одинаковое число раз,

потому что от уменьшения делимого частное уменьшается, а от уменьшения делителя оно увеличивается во столько же раз. Так, если в том же примере уменьшим делимое и делитель в 5 раз, то получим 12 : 3 = 4.

§ 78. Как разделить произведение. Пусть требуется произведение 8 · 12 · 20 разделить на 4. Вместо того, чтобы сначала вычислить это произведение (оно равно 1920), а потом разделить его на 4 (получим 480), мы можем разделить на 4 какой-нибудь один из сомножителей, оставив другие без изменения, и затем вычислить произведение. Так, разделим, положим, 12 на 4, а 8 и 20 оставим без изменения; получим 8 · 3 · 20 = 480, т. е. мы получим то же самое число, которое получили раньше. Так оно и должно быть, потому что разделить на 4 это значит, уменьшить в 4 раза, а произведение уменьшится в 4 раза, если уменьшим в 4 раза один из сомножителей. Таким образом,

чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно разделить на это число один сомножитель, оставив другие без изменения.

§ 79. Как разделить сумму и как разделить разность.

1) Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сложить (предполагается, что все деления совершаются без остатка).

Так, чтобы разделить сумму 21 + 14 + 35 на 7 (т. е. узнать, сколько раз в этой сумме содержится 7), мы можем узнать, сколько раз 7 содержится в 21 (3 раза), потом в 14 (2 раза), затем в 35 (5 раз), и полученные числа сложить: 3 + 2 + 5 = 10.

2) Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе. Так,

(40 – 25) : 5 = (40 : 5) – (25 : 5) = 8 – 5 = 3.

Так оно и должно быть, потому что 40 содержит в себе 8 пятерок, а 25 содержит 5 пятерок, а 8 пятерок без 5 пятерок, очевидно, содержит в себе 3 пятерки.

§ 80. Замечание о порядке действий в формулах. Сложение и вычитание принято называть действиями первой ступени, а умножение и деление. действиями второй ступени. Для уменьшения числа случаев, когда надо прибегать к скобкам, чтобы выразить порядок действий, условились:

если в выражении, не имеющем скобок, указаны действия только одной ступени, то они производятся в том порядке, в каком написаны (слева направо). Так, выражение

40 – 10 + 15 – 8

означает, что из 40 вычитается 10 (получим 30), к полученному числу прикладывается 15 (получим 45) и затем вычитается 8 (получим 37). Или выражение

400 : 4 · 5 : 2

означает, что 400 делится на 4 (получим 100), частное умножается на 5 (получим 500) и это произведение делится на 2 (получим 250).

Если же в выражении без скобок указаны действия разных ступеней, то сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), а потом – действия первой ступени (сложение и вычитание). Например, выражение

6 + 20 · 4 – 10 : 2

означает, что надо 20 умножить на 4 (получим 80), затем 10 разделить на 2 (получим 5), потом к 6 приложить 80 (получим 86) и, наконец, отнять 5 (получим 81).

Отступления от этого порядка указываются скобками. Так, если написано

6 + (20 · 4 – 10) : 2,

то это значит: 20 умножить на 4, вычесть 10, разделить на 2 и сложить с 6 (получим 41).