Признаки делимости

Существуют признаки, по которым иногда легко узнать, не производя деления на самом деле. делится или не делится данное число на некоторые другие числа. Эти признаки мы теперь и рассмотрим.

§ 82. Делимость суммы и разности. При выводе признаков делимости мы часто будем пользоваться следующими свойствами суммы и разности:

1) если каждое слагаемое делится на одно и то же число, то и сумма разделится на это число;

2) если одно слагаемое не делится, а все прочие делятся на какое-нибудь число, то сумма не разделится на это число;

3) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.

Свойства 1) и 3) очевидны: если, например, число 5 содержится целое число (9) раз в числе 45 и целое число (7) раз в числе 35, то оно, очевидно, будет содержаться целое число (9 + 7 = 16) раз в их сумме и целое число (9 – 7 = 2) раз в их разности.

Свойство 2) легко доказывается, если свойства 1) и 3) уже установлены. Возьмем, например, сумму 102 = 45 + 35 + 22. Здесь слагаемые 45 и 35 делятся на 5, а последнее слагаемое 22 на 5 не делится. Покажем, что и сумма 102 не может делиться на 5. Так как 45 и 35 делятся на 5, то и сумма их 45 + 35 = 80 по свойству 1) делится на 5. Но из равенства 102 = 45 + 35 + 22 следует 102 – (45 + 35) = 22, или 102 – 80 = 22. Если бы 102 делилось на 5, то по свойству 3) и разность 102 – 80 = 22 должна была бы делится на 5; так как 22 на 5 не делиться, то, значит, и 102 не может делиться на 5.

§ 83. Признак делимости на 2. Числа, делящиеся на 2, называются четными, а, не делящиеся на 2 – нечетными. В ряду натуральных чисел числа нечетные и четные чередуются; так, 1 – нечетное число, 2 – четное число. 3 – нечетное число, 4 – четное число и т. д.

Всякое число, оканчивающееся нулем, представляет собой сумму десятков; например 320 есть сумма 32 десятков. Но десяток делится на 2; поэтому и сумма нескольких десятков также делится на 2 (содержит в себе столько раз по 5 двоек, сколько в ней десятков). Значит, всякое число, оканчивающееся нулем, делится на 2.

Например:

320 : 2 = 160.

Возьмем теперь число, оканчивающееся любой четной цифрой, например 328. Это число можно представить в виде суммы так:

328 = 320 + 8.

Каждое из чисел 320 и 8 делится на 2; значит, по свойству 1) (§ 82) и 328 разделится на 2 и будет четным числом. Напротив, число, оканчивающееся нечетной цифрой, например 329, не может делиться на 2.

В самом деле,

329 = 320 + 9;

так как 320 делится на 2, а 9 не делится, то по свойству 2) (§ 82) 329 не может делиться на 2.

Таким образом, на 2 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются четной цифрой.

Примечание. Цифра нуль считается четной, так как она изображает число, делящееся на 2 (§ 81).

§ 84. Признак делимости на 4. Всякое число, оканчивающееся двумя нулями, представляет собой сумму сотен; например, 2300 есть сумма 23 сотен. Но сотня делится на 4; поэтому и сумма нескольких сотен также делится на 4 (содержит в себе столько раз по 25 четверок, сколько в ней сотен). Значит, всякое число, оканчивающееся двумя нулями, делится на 4.

Например,

2300 : 4 = 575.

Возьмем теперь два числа таких, чтобы две последние цифры у одного из них выражали число, делящееся на 4, а у другого число, не делящееся на 4, например: 2348 и 2350 (48 делится на 4, а 50 нет). Их можно представить в виде сумм так:

2348 = 2300 + 48; 2350 = 2300 + 50.

В первом примере каждое слагаемое делится на 4, поэтому и сумма делится на 4; значит, число 2348 делится на четыре. Во втором примере первое слагаемое делится на 4, а второе не делится, поэтому сумма 2350 не делится на 4. Таким образом, на 4 делятся все те и только те числа, у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.

Таким же путем легко доказать, что на 8 делятся все те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8.

§ 85. Признаки делимости на 5 и на 10. Десяток делится на 5 и на 10; поэтому число, составленное из десятков, т. е. оканчивающееся нулем, делится на 5 и на 10. Если число не оканчивается нулем, то оно не делится на 10, а на 5 оно разделится только тогда, когда последняя его цифра будет 5, потому что из всех однозначных чисел только 5 делится на 5. Итак, на 5 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются нулем или цифрой 5; на 10 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются нулем.

Замечание. Подобным же образом можно убедиться, что на 25 делятся все те и только те числа, у которых две последние цифры или нули, или 25, или 50, или 75.

На 50 делятся все те и только те числа, у которых две последние цифры нули или 50.

§ 86. Признаки делимости на 3 и на 9. Предварительно заметим, что и на 3 и на 9 делится всякое число, написанное посредством одной цифры 9, т. е. 9, 99, 999 и т. п. Действительно,

Деление на 3 и 9

Заметив это, возьмем какое-нибудь число, например 2457, и разложим сто на отдельные единицы различных разрядов (кроме простых единиц, которые оставим не разложенными):

Доказательство делимости на 3 и на 9

Разложим каждую тысячу на 999 и 1, каждую сотню – на 99 и 1, каждый десяток – на 9 и 1. Тогда вместо 2 тысяч получим 2 раза по 999 и 2 единицы; вместо 4 сотен получим 4 раза по 99 и 4 единицы; вместо 5 десятков – 5 раз по 9 и еще 5 единиц. Следовательно:

Доказательство делимости на 3 и на 9

Слагаемые 999, 99 и 9 делятся на 3 и на 9; значит, делимость данного числа на 3 или на 9 зависит только от суммы 2 + 4 + 5 + 7; если эта сумма делится (не делится) на 3 или на 9, то и данное число делится (не делится) на эти числа. Сумма 2 + 4 + 5 + 7 есть сумма чисел, выражаемых цифрами данного числа, написанными отдельно; для краткости говорят, что это есть сумма цифр данного числа. Поэтому:

на 3 делятся все те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3;

на 9 делятся все те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

В числе 2457 сумма цифр равна 18; 18 делится на 3 и на 9; значит, 2457 тоже делится и на 3 и на 9. Действительно:

2457 : 3 = 819; 2457 : 9 = 273.

Так как 9 делится на 3, то всякое число, делящееся на 9, будет делиться и на 3. Но число может делиться на 3 и в то же время не делиться на 9. Так, в числе 17331 сумма цифр равна 15; так как 15 делится на 3, но не делится на 9, то и число 17331 делится на 3, но не делится на 9.

Замечание. В подробных курсах арифметики можно найти еще признаки делимости на 7, 11, 13, 37 и другие числа; но они настолько сложны, что пользование ими на практике затруднительно; поэтому мы их не излагаем.

§ 87. Признаки делимости на 6, 12, 15. Если какое-нибудь число делится на 6, то его можно разложить на шестерки, т. е. представить его в виде суммы

6 + 6 + 6 + 6 + … + 6.

Но каждую шестерку можно разложить и на двойки (2 + 2 + 2) и на тройки (3 + 3); значит, и все такое число можно разложить и на двойки и на тройки: следовательно, оно должно делиться и на 2 и на 3. Таким образом, чтобы число делилось на 6, необходимо, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Например, число 3584 не делится на 6, так как оно не делится на 3 (хотя и делится на 2); число 3585 также не делится на 6, так как оно не делится на 2 (хотя и делится на 3).

Но это рассуждение еще не убеждает нас, что этот признак делимости на 6 достаточен, т. е. что всякое число, которое делится на 3 и на 2, разделится и на 6. Докажем теперь, что это так. Допустим, что данное число делится на 3 и на 2, и убедимся, что в таком случае оно будет делиться и на 6.

Пусть данное число делится на 3 и на 2. Тогда его можно разложить и на тройки и на двойки. Вообразим, что мы его разложили на тройки:

3 + 3 + 3 + 3 + … + 3.

Будем соединять, начиная слева, каждые 2 тройки в 1 шестерку. Тогда должно получиться одно из двух:

1) все тройки соединятся в шестерки, ни одной лишней тройки не останется; это значит, что наше число представилось в виде

6 + 6 + … + 6,

т. е., разложилось на шестерки; следовательно, оно делится на 6;

2) одна тройка осталась без пары, т. е. наше число представилось в виде

6 + 6 + … + 6 + 3.

Но здесь все слагаемые, кроме последнего, делятся на 2; значит, на основании свойства 2) (§ 82) наше число не делилось бы 2; а так как оно по условию на 2 делится, то этот случай невозможен.

Теперь мы можем утверждать, что для делимости какого-нибудь числа на 6 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3; или, короче: на 6 делятся все те и только те числа, которые делятся и на 2 и на 3.

Например, число 13854 делится на 6, так как оно делится на 2 (оканчивается четной цифрой) и в то же время делится на 3 (сумма его цифр делится на 3). Действительно 13854 : 6 = 2309.

Тем же способом можно убедиться в том, что на 12 делятся все те и только те числа, которые делятся на 3 и на 4; на 15 делятся нее те и только те числа, которые делятся на 3 и на 5.

§ 88. Общее обоснование признаков делимости предыдущего типа. Признаки делимости на 6, 12, 15 и на многие другие числа имеют общее теоретическое основание, которое мы здесь изложим.

Теорема. Если произведение двух чисел a1a2 делится на третье число p и одно из чисел a1 или a2 не имеет с p общих делителей кроме единицы, то другое из них делится на p.

Доказательство. Пусть, например число a1 не имеет с p общих делителей, кроме единицы; тогда докажем, что число a2 должно делиться на p.

Разделим a1 на p и назовем частное и остаток от этого деления соответственно q и r. Тогда

a1 = pq + r.

Убедимся относительно остатка r, что он: 1) не равен 0 и 2) не имеет общих делителей с p, кроме единицы. Действительно, если r = 0, то a1 = pq и тогда a1 делилось бы на p, и, следовательно, числа a1 и p имели бы общий делитель, отличный от единицы, что противоречит условию теоремы. Предположим далее, что p и r имеют какой-нибудь общий делитель t > 1. Тогда a1 делилось бы на t и, следовательно, a1 и p имели бы общий делитель t > 1, что противоречит условию.

Если остаток r не равен единице, то разделим p на r и назовем частное и остаток от этого деления q1 и r1. Тогда

p = rq1 + r1.

Так как p и r по доказанному не имеют общих делителей, кроме единицы, то из последнего равенства убеждаемся, подобно предыдущему, что: 1) r1 не равно нулю и 2) r и r1 не имеют общих делителей, кроме единицы. Если r1 не равно единице, то разделим r на r1 от чего получим остаток r2 не равный нулю и не имеющий общих делителей с r1, кроме единицы. Если r2 не равен единице, то разделим r1 на r2 и т.д; тогда получим ряд равенств:


из которых убеждаемся, что остатки r, r1, r2 и т. д. не равны нулю. Так как при всяком делении остаток должен быть меньше делителя, то r < p, r1 < r, r2 < r1 и т. д. Поэтому, произведя достаточное число делений, мы, наконец, дойдем до такого остатка, который равен единице.

Пусть rn = 1. Тогда rn-2 = rn-1qn + 1.

Умножим почленно каждое из полученных равенства на a2:

Обращая внимание на первое из этих равенств, рассуждаем так: так как произведение a1a2, по условию, делится на p, то и сумма pqa2 + ra2 делится на p; первое слагаемое этой суммы делится на p; следовательно, и второе слагаемое, т. е. произведение ra2, делится на p. Перейдя затем к равенству второму, находим, что сумма pa2 и одно из слагаемых (ra2)q1 делится на p, откуда заключаем, что и второе слагаемое r1a2 делится на p. Переходя затем к равенству третьему, от третьего к четвертому, от четвертого к пятому и т. д., дойдем, наконец, до последнего равенства, из которого заключим, что a2 делится на p.

§ 89. Следствие. Если число a делится порознь на два числа p и q, причем p и q не имеют общих делителей, кроме единицы, то a делится на произведение pq.

Обозначим частное от деления a и p через Q; тогда:

a = pQ.

Так как по условию a делится на q, то из этого равенства заключаем, что pQ делится на q. Но p не имеет с q общих делителей, кроме единицы; значит, согласно теореме, Q должно делиться на q. Пусть частное от этого деления будет Q1; тогда

Q = qQ1.

Вставив в предыдущее равенство на место Q равное ему произведение, получим

a = p(qQ1) = (pq)Q1,

откуда видно, что число a есть произведение двух множителей: (pq) и Q1; значит, a делится на pq.

Таким образом: если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6; если число делится на 3 и на 4, то оно делится на 12; если делится на 3 и на 5, то оно делится на 15, и т. п.

Примечание. Если числа p и q имеют общий делитель, отличный от единицы, то из делимости какого-нибудь числа на p и на q еще не следует, что это число делится на произведение pq; так, число 36 делится на 4 и на 6, но не делится на произведение 4 · 6 (= 24).

Математика: