Нахождение делителей составного числа

§ 95. Что такое «делитель» числа. Напомним, что делителем данного числа называется число, на которое данное число делится.

Всякое простое число, например число 11, имеем только два делителя: единицу и самого себя.

Всякое составное число имеет более двух делителей; например число 6 имеет 4 делителя: 1, 2, 3 и 6; из них 2 и 3 – простые, а 6 – составной.

§ 96. Нахождение делителей данного числа. Пусть требуется найти делители числа 420. Для этого разложим это число на простые множители:

420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7.

Очевидно, что 420 делится на каждый из этих множителей; легко видеть, что 420 делится и на произведение двух, трех и более своих множителей. Например 420 делится на произведение 3 · 7, т,е, на 21, так как, переставив множители 3 и 7 к началу ряда, мы получим:

420 = 3 · 7 · 2 · 2 · 5 = 21 · 2 · 2 · 5,

откуда и видно, что 420 делится на 21.

Правило. Чтобы найти делители данного составного числа, предварительно разлагают его на простые множители; каждый из этих множителей будет простым делителем данного числа; перемножением же простых множителей по два, по три, по четыре и т.д. получатся составные делители данного числа.

Замечание. Чтобы найти частное от деления составного числа на какой-нибудь его делитель, достаточно из разложения этого числа на простые множители отбросить те множители, которые в произведении составляют данный делитель, и перемножить между собой остальные множители.

Например, чтобы найти частное от деления 420 на 21, из разложения 420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 выбросим множители 3 и 7, произведение которых составляет 21, и оставшиеся множители перемножим (получим 20).

Указанным правилом могут быть получены все делители данного числа. В самом деле, пусть число a имеет делитель b, в пусть c есть частное от деления a на b, так что

a = bc.

Если мы разложим b и c на простые множители и вставим эти разложения в написанное равенство, то мы, очевидно, получим разложение числа a на простые множители, причем число b будет получаться как произведение некоторой части этих сомножителей. Таким образом, любой делитель данного числа, действительно, может быть получен по указанному выше правилу.