Основные свойства десятичных дробей

§ 158. Десятичные доли. Доли, получаемые от разделения какой-нибудь единицы на 10, на 100, на 1000, вообще на такое число равных частей, которое выражается единицей с одним или с несколькими нулями, называются десятичными долями.

Таким образом, десятичные доли, последовательно уменьшающиеся, будут следующие:

Десятичные доли

Из двух неодинаковых десятичных долей большая называется десятичной долей высшего разряда, а меньшая – десятичной долей низшего разряда. Каждая десятичная доля содержит в себе 10 десятичных долей следующего низшего разряда. Так,

§ 159. Десятичная дробь. Дробь, у которой знаменатель есть единица с одним или с несколькими нулями, называется десятичной; таковы, например, дроби:
Десятичные дроби

В отличие от десятичных дроби, имеющие какие угодно знаменатели, называются обыкновенными, или простыми, дробями.

§ 160. Десятичные знаки. В цифровом изображении целого числа из двух рядом стоящих цифр правая всегда означает единицы, в 10 раз меньшие, нежели левая. Условимся распространить это значение мест и на те цифры, которые могут быть написаны вправо от простых единиц. Положим, например, что в такой записи:

63,48259...

цифра 3 означает простые единицы. Тогда цифра 4 означает единицы, в 10 раз меньшие, нежели простые единицы, т. е. десятые доли; 8 означает сотые доли, 2 – тысячные, 5 – десятитысячные, 9 – стотысячные и т.д. Чтобы не ошибиться в значении мест, условимся отделять запятой целое число от десятичных долей. На места недостающих долей, а также и на место целого числа, когда его нет, будем ставить нули. Например, при таких условиях выражение 0,0203 означает: 2 сотых 3 десятитысячных.

Подобным же образом 25,703 означает 25 целых 7 десятых 3 тысячных; 0,82 означает 8 десятых 2 сотых и т. д.

Цифры, стоящие направо от запятой, называются десятичными знаками.

§ 161. Изображение десятичной дроби без знаменателя. Всякую десятичную дробь мы можем написать без знаменателя. Пусть, например, дана десятичная дробь . Сначала исключим из нее целое число, получим . Теперь представим эту дробь так:

Разложение дроби на десятичные доли

Значит, дробь эту можно изобразить таким образом:

Перевод обычной дроби в десятичную

Это легко проверить, раздробив в числе 32,736 целые единицы и все десятичные доли в доли самые мелкие (в тысячные), что проще всего сделать так: так как целая единица содержит в себе 10 десятых, то 32 целых составляют 320 десятых; приложив к ним 7 десятых, получим 327 десятых. Так как десятая доля содержит в себе 10 сотых, то 327 десятых составляют 3270 сотых; приложив к ним 3 сотых, получим 3273 сотых. Так как 1 сотая = 10 тысячным, то 3273 сотых = 32730 тысячных; приложив к этому числу еще 6 тысячных, получим данную дробь 32736 тысячных.

Пусть дана десятичная дробь , в которой нет целого числа. Эту дробь можно представить так:

Разложение дроби

Следовательно, дробь эта изобразится таким образом:

Получение обыкновенной дроби
Правило. Чтобы десятичную дробь написать без знаменателя, достаточно написать ее числитель и отделить в нем запятой с правой стороны столько десятичных знаков, сколько нулей в знаменателе (для чего иногда с левой стороны числителя приходится приписать несколько нулей).

В последующем изложении мы всегда будем предполагать (если не будет сделано особой оговорки), что десятичная дробь изображена без знаменателя.

Замечание. Приписывание нулей справа или слева десятичной дроби (написанной без знаменателя) не изменяет ее величины. Например, каждое из чисел:

7,05; 7,0500; 007,05

выражает одно и то же число: 7 целых 5 сотых, так как 500 десятитысячных равно 5 сотым, а 007 выражает просто 7.

§ 162. Как читается десятичная дробь. Сначала прочитывают целое число (а когда его нет, то говорят: «нуль целых»), затем читают число, написанное после запятой, как если бы оно было целое, и прибавляют название тех долей, которыми десятичное изображение дроби оканчивается; например, 0,00378 читается: 0 целых 378 стотысячных. Значит, десятичная дробь, написанная без знаменателя, прочитывается так, как если бы она была изображена при помощи числителя и знаменателя.

Впрочем, десятичную дробь, у которой очень много десятичных знаков, предпочитают читать иначе: разбивают все десятичные знаки, начиная от запятой., на грани, по 3 знака в каждой грани (кроме последней, в которой может быть один и два знака); затем читают каждую грань, как целое число, добавляя к названию числа первой грани слово «тысячных», второй грани «миллионных», третьей - «миллиардных» и т.д.; к названию числа последней грани добавляют название долей, выражаемых последней цифрой дроби. Таким образом, дробь

0,028 306 000 07

читается так: 0 целых 28 тысячных 306 миллионных 07 стомиллиардных.

§ 163. Сравнение десятичных дробей по величине. Пусть желаем узнать, какое из следующих чисел больше:

0,735 или 0,7348.

Для этого к числу, у которого десятичных знаков меньше, припишем (хотя бы только мысленно) с правой стороны столько нулей, чтобы число десятичных знаков в обоих числах оказалось одно и то же:

0,735; 0,7348.

Теперь видим, что первое число содержит 7350 десятитысячных, а второе 7348 десятитысячных; знаменатели дробей стали одинаковы; значит, больше будет та из них, у которой числитель больше: так как 7350 больше, чем 7348, то первое число больше второго.

Подобным образом легко убедиться, что

3,01 > 2,998; 3,7 > 3,6874; 3,64 < 3,6985 и т. д.

Правило. Из двух десятичных дробей та больше, у которой число целых больше; при равенстве целых – у которой число десятых больше; при равенстве целых и десятых – у которой число сотых больше и т.д.

§ 164. Изменение величины десятичной дроби от перенесения в ней запятой. Перенесем в числе 3,274 запятую на один знак вправо; тогда получим новое число: 32,74. В первом числе цифра 3 означает простые единицы, а во втором – десятки; следовательно, значение ее увеличилось в 10 раз. Цифра 2 означает в первом числе десятые доли, а во втором простые единицы; следовательно, ее значение тоже увеличилось в 10 раз. Также увидим, что значение и прочих цифр увеличилось в 10 раз. Таким образом:

от перенесения запятой вправо на один знак десятичная дробь увеличивается в 10 раз.

Отсюда следует, что от перенесения запятой вправо на два знака десятичная дробь увеличивается в 100 раз, на три знака в 1000 раз и т. д.

Обратно: от перенесения запятой влево на один знак десятичная дробь уменьшается в 10 раз.

Следовательно, от перенесения запятой влево на два знака дробь уменьшается – в 100 раз, от перенесения на три знака – в 1000 раз и т. д.

§ 165. Увеличение или уменьшение десятичной дроби в 10 раз, в 100 раз, в 1000 раз и т.д. Пусть требуется увеличить число 0,02 в 10000 раз. Для этого достаточно перенести в нем запятую на четыре знака вправо. Но в данном числе имеется всего два десятичных знака. Чтобы было четыре знака, припишем с правой стороны два нуля, отчего величина числа не изменится. Перенеся потом запятую на конец числа, получим целое число 0200, или просто 200.

Пусть требуется уменьшить то же число 0,02 в 100 раз. Для этого достаточно перенести в нем запятую на два знака влево. Но в данном числе влево от запятой имеется только один знак. Припишем с левой стороны два нуля, отчего величина числа не изменится. Перенеся потом запятую на два знака влево, получим 0,0002.

Всякое целое число можно рассматривать как десятичную дробь, у которой вправо от запятой стоит сколько угодно нулей; поэтому увеличение и уменьшение целого числа в 10 раз, 100 раз, в 1000 раз и т.д. совершается так же, как и в десятичной дроби. Например, если уменьшим целое число 567,000... в 100 раз, то получим 5,67.

Замечание. Указанное свойство десятичной дроби изменять при перенесении запятой свою величину в 10 раз, в 100 раз и т. д. позволяет очень быстро делать раздробление и превращение данного именованного числа, выраженного в метрических мерах.

Пусть, например, требуется составное именованное число 3 метра 8 дециметров 4 сантиметра выразить в метрах. Так как дециметр – это десятая доля метра, сантиметр – сотая доля мета, то, очевидно, данное составное именованное число выразится в метрах так: 3,84 метра. Перенося в этой десятичной дроби запятую вправо, найдем, что, 3,84 метра = 38,4 дециметра = 384 сантиметра.

Пусть еще требуется простое именованное число 8746 миллиграммов превратить в составное (т. е. выразить в мерах высших разрядов). Так как грамм равен 1000 миллиграммам, то 8746 миллиграммов = 8,746 грамма = 8 граммам 7 дециграммам 4 сантиграммам и 6 миллиграммам.

Математика: