Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

§ 132. Объяснение. Возьмем для примера две дроби 5/12 и 7/15 и зададимся вопросом, нельзя ли эти дроби выразить в одинаковых долях единицы. Дробь 5/12 несократима; поэтому знаменатели дробей, которым может равняться дробь 5/12, должны быть числами, кратными 12. Другими словами, кроме двенадцатых долей, ее можно выразить в долях двадцать четвертых, тридцать шестых, сорок восьмых, и т.д. Подобно этому знаменатели дробей которым может равняться несократимая дробь 7/15, должны быть числами, кратными 15; следовательно, общий знаменатель этих двух дробей должен быть общим кратным числам 12 и 15, а общий наименьший знаменатель должен быть наименьшим общим кратным чисел 12 и 15. Найдем наименьшее общее кратное этих чисел:

Поиск наименьшего общего кратного знаменателей

Это и будет наименьшей общий знаменатель добей 5/12 и 7/12.

Чтобы выразить каждую из этих дробей в шестидесятых долях, найдем для их знаменателей так называемые дополнительные множители, т. е. для каждого знаменателя найдем то число, на которое его надо умножить, чтобы получить наименьший общий знаменатель. Так как 60 = 12 · 5 = 15 · 4, то для получения 60 надо умножить 12 на 5, а 15 на 4. Чтобы не изменилась величина дробей, надо умножить числитель каждой дроби на то число, на которое умножаем ее знаменатель, поэтому

Приведение дробей к общему знаменателю

Пусть еще требуется привести к наименьшему общему знаменателю три дроби: 4/90, 7/20, 8/75. Первая из них – сократимая дробь; после сокращения она дает 2/45, остальные дроби – несократимые. Отыщем наименьшее общее кратное всех знаменателей: 45, 20 и 75.

Наименьшее общее кратное трех знаменателей

Теперь умножим оба члена каждой дроби на дополнительный множитель для ее знаменателя:

Приведение трех дробей к общему знаменателю
Правило. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, предварительно, если можно, их сокращают, затем находят наименьшее общее кратное всех знаменателей и для каждого знаменателя определяют соответствующий дополнительный множитель; наконец, умножают оба члена каждой дроби на дополнительный множитель для ее знаменателя.

§ 133. Некоторые особые случаи. Случай 1-й, когда никакая пара знаменателей не содержит общих множителей.

Например:

3/7, 4/15, 5/8

Так как в этом случае наименьшее общее кратное знаменателей равно их произведению, то оба члена каждой дроби надо умножить на произведение знаменателей остальных дробей:

Приведение трех дробей к общему знаменателю путем их перемножения

В частности, так поступают, когда знаменатели – числа простые, различные между собой.

Случай 2-й, когда наибольший из знаменателей делится на каждый из остальных, например:

3/7, 7/15, 8/315

Знаменатель 315 делится на 7 и на 15. В этом случае наибольший знаменатель есть наименьшее общее кратное всех знаменателей; значит, он должен быть наименьшим общим знаменателем:

дополнительный множитель для 7 равен 45:

Приведение дробей к общему знаменателю