График трехчлена y = x² + px + q

Построим график функции трехчлена:

     y = x2 – 8x + 19.    (1)

Сначала преобразуем этот трехчлен, выделив в нем квадрат двучлена x – 4:

    y = (x – 4)2 + 3.    (2)

Видим, что график функции (2) можно получить, перенеся в направлении оси ординат вверх на 3 единицы график функции y = (x – 4)2 (§ 121).
Но график функции y = (x – 4)2 является графиком функции y = x2, перенесенным в направлении оси абсцисс на 4 единицы вправо (§ 122).

Отсюда следует, что график функции (2), или, что то же, функции (1), можно получить, перенеся график функции y = x2 на 4 единицы вправо и на 3 единицы вверх (черт. 70).


Рассуждая таким же образом, построим график трехчлена:

    y = x2 + 6x + 7.    (3)

Представим трехчлен в таком виде:

y = (x + 3)2 – 2.

Заключаем, что график трехчлена (3) можно получить, перенеся график функции y = x2 на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз (черт. 71).


Точно так же графиком трехчлена

y = x2 – 5x – 1,

который можно представить в виде

является парабола y = x2, перенесенная на единицы вправо и на единицы вниз.

Возьмем теперь трехчлен:

y = x2 + px + q.

Его можно представить в таком виде:

Отсюда заключаем, что график трехчлена y = x2 + px + q можно получить, перенеся график функции y = x2 в направлении оси абсцисс на единиц и в направлении оси ординат на единиц.

Таким образом, графиком трехчлена y = x2 + px + q является парабола y = x2, расположенная симметрично относительно прямой, параллельной оси ординат и отстоящей от нее на расстоянии, равном . Вершина параболы находится в точке .

Пример 1.

y = x2 + 2x – 3.

Здесь . Значит, графиком трехчлена является парабола y = x2, перенесенная на 1 единицу влево и на 4 единицы вниз (черт. 72).

Пример 2.

y = x2 + 4x + 3.

Здесь . График дан на чертеже 73.