График функции y = x² + n

С графиком функции y = x2 мы уже встречались (§ 89). Он представляет собой линию, называемую параболой (черт. 65). В дальнейшем для краткости вместо слов «парабола, изображающая функцию y = x2», будем говорить «парабола y = x2».


Напомним, что для параболы y = x2 ось ординат является осью симметрии; ее называют осью параболы.

Точка O, в которой парабола пересекается с осью симметрии, называется вершиной параболы. Значит, вершина параболы y = x2 находится в точке O (0; 0), то есть в начале координат.
Построим график функции:

     y = x2 + 3.    (1)

Сравнивая эту функцию с функцией

    y = x2,    (2)

замечаем, что при одном и том же значении x значение y функции (1) будет на 3 больше значения y функции (2). Например:


Это значит, что каждая точка графика первой функции будет лежать на 3 единицы длины выше точки с той же абсциссой графика второй функции (черт. 66). Отсюда следует, что график функции (1) можно получить, перенеся на 3 единицы вверх в направлении оси ординат график функции (2).
График функции  y = x² + n
Примечание. Практически при построении графика функции y = x2 + 3 нет надобности два раза строить параболу, а именно сначала строить график y = x2, а затем переносить его в новое положение. Достаточно через точку (0; 3) провести вспомогательную ось O1X1, параллельную оси абсцисс, и построить параболу y1 = x2 в системе координат X1O1Y.

Рассуждая таким же образом, покажем, что график функции

    y = x2 – 4     (3)

можно получить, перенеся график функции y = x2 в направлении оси ординат на 4 единицы вниз (черт. 67); говорят, что график переносится на –4 единицы в направлении оси ординат.

Отсюда можно сделать общий вывод:

График функции y = x2 + n можно получить, перенеся график функции y = x2 в направлении оси ординат на n единиц.

Надо иметь в виду, что n может быть как положительным, так и отрицательным числом; в первом случае перенос производится на |n| единиц вверх, а во втором на |n| единиц вниз.

Таким образом, графиком функции y = x2 + n является парабола, расположенная симметрично относительно оси ординат. Ее вершина находится в точке (0; n).span class=