x2 – 7x + 12 = 0.
По формуле (B) получим:
.
Отсюда x1 = 3; x2 = 4.
Обратим внимание на следующее: если сложить найденные корни, то получим число, противоположное коэффициенту при x. Действительно: в уравнении p = – 7, а x1 + x2 = 4 + 3 = 7.
Возьмем еще уравнение:
x2 + 2x – 35 = 0.
Его корни
x1 = –7; x2 = 5.
Опять имеем:
x1 + x2 = 5 + (–7) = –2 (p = 2);
x1 * x2 = 5 * (–7) = –35 (q = –35).
Докажем, что корни любого приведенного уравнения одним этим свойством.
Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
x1 + x2 = –p; x1 * x2 = q.
Доказательство. Пусть имеем уравнение:
x2 + px + q = 0.
Если уравнение имеет решения, то они соответственно равны (§ 104):
Отсюда получим:
1).
Итак, x1 + x2 = –p.
2).
Итак, x1 * x2 = q.
Теорема доказана.
Эта теорема называется теоремой Виета, по имени французского математика Ф. Виета (1540-1603).
Полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Заменим данное уравнение равносильным ему приведенным, разделив обе его части на a:
.
Тогда по теореме Виета будем иметь:
Если дискриминант квадратного уравнения D = 0, то уравнение имеет один корень и, следовательно, теорема Виета в этом случае не применима.
Но введем следующее условие: будем считать, что уравнение x2 + px + q = 0 и в случае, когда D = 0, тоже имеет два корня, но равных.
Каждый корень равен.
Эти два корня мы получим из формул:
Положив в них, получим x1 = ; x2 =. При введенном условии теорема Виета остается верной и в случае, когда D = 0. Действительно,
.
Таким образом, теорема Виета верна для любого квадратного уравнения, имеющего корни.
Пример.
x2 – 10x + 25 = 0.
Имеем:
x1 = x2 = 5; x1 + x2 = 10; x1 * x2 = 25.
Теорема (обратная). Если сумма двух чисел равна p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями квадратного уравнения
x2 – px + q = 0. (1)
Доказательство. Пусть дано, что
a + b = p; ab = q. (2)
Докажем, что тогда числа a и b являются корнями уравнения.
Пользуясь равенствами (2), мы можем уравнение (1) переписать так:
x2 – (a + b)x + ab = 0. (3)
Докажем, например, что a удовлетворяет этому уравнению, а следовательно, и уравнению (1).
Подставив a вместо x в уравнение (3), получим:
a2 – (a + b)a + ab = a2 – a2 – ab + ab = 0.
Левая часть оказалась равной нулю. Значит, a — корень уравнений (3) и (1).
На основании этой теоремы легко решаются следующие задачи.
Задача 1. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы данные числа.
Пусть m и n — данные числа. На основании теоремы, обратной теореме Виета, m и n являются корнями уравнения:
x2 – (m + n)x + mn = 0.
Пусть, например, m = 3; n = –5.
Тогда
m + n = –2; mn = –15.
Искомое уравнение:
x2 + 2x – 15 = 0.
Задача 2. Решить систему уравнений:
На основании той же теоремы заключаем, что x и y являются корнями уравнения:
z2 – az + b = 0.
Решив его (если a2 – 4b ≥ 0), найдем два значения (различных или равных) z1 и z2. Тогда, положив
x = z1, y = z2, и x = z2, y = z1,
получим два (или одно) решения системы.
Пример 1.
Здесь 42 – 4(–21) = 100 > 0. Уравнение z2 – 4z – 21 = 0 имеет корни: z1 = –3, z2 = 7; система имеет два решения:
Пример 2.
Здесь 102 – 4 * 25 = 0. Система имеет одно решение:
Пример 3.
Здесь 72 – 4 * 15 = –11 < 0. Система не имеет решений.