Теорема Виета

Решим приведенное уравнение:

x² – 7x + 12 = 0.

По формуле (B) получим:

.

Отсюда x₁ = 3; x₂ = 4.
Обратим внимание на следующее: если сложить найденные корни, то получим число, противоположное коэффициенту при x. Действительно: в уравнении p = – 7, а x₁ + x₂ = 4 + 3 = 7.

Возьмем еще уравнение:

x² + 2x – 35 = 0.

Его корни

x₁ = –7; x₂ = 5.

Опять имеем:

x₁ + x₂ = 5 + (–7) = –2 (p = 2);
x₁ * x₂ = 5 * (–7) = –35 (q = –35).

Докажем, что корни любого приведенного уравнения одним этим свойством.

Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

x₁ + x₂ = –p; x₁ * x₂ = q.

Доказательство. Пусть имеем уравнение:

x² + px + q = 0.

Если уравнение имеет решения, то они соответственно равны (§ 104):

Отсюда получим:

1) .

Итак, x₁ + x₂ = –p.

2) .
Итак, x₁ * x₂ = q.

Теорема доказана.

Эта теорема называется теоремой Виета, по имени французского математика Ф. Виета (1540-1603).

Полное квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Заменим данное уравнение равносильным ему приведенным, разделив обе его части на a:

.

Тогда по теореме Виета будем иметь:

Если дискриминант квадратного уравнения D = 0, то уравнение имеет один корень и, следовательно, теорема Виета в этом случае не применима.

Но введем следующее условие: будем считать, что уравнение x² + px + q = 0 и в случае, когда D = 0, тоже имеет два корня, но равных.

Каждый корень равен .
Эти два корня мы получим из формул:

Положив в них , получим x₁ = ; x₂ = . При введенном условии теорема Виета остается верной и в случае, когда D = 0. Действительно,

.

Таким образом, теорема Виета верна для любого квадратного уравнения, имеющего корни.

Пример.

x² – 10x + 25 = 0.

Имеем:

x₁ = x₂ = 5; x₁ + x₂ = 10; x₁ * x₂ = 25.

Теорема (обратная). Если сумма двух чисел равна p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями квадратного уравнения

     x² – px + q = 0.    (1)

Доказательство. Пусть дано, что

     a + b = p; ab = q.      (2)

Докажем, что тогда числа a и b являются корнями уравнения.

Пользуясь равенствами (2), мы можем уравнение (1) переписать так:

     x² – (a + b)x + ab = 0.      (3)

Докажем, например, что a удовлетворяет этому уравнению, а следовательно, и уравнению (1).

Подставив a вместо x в уравнение (3), получим:

a² – (a + b)a + ab = a² – a² – ab + ab = 0.

Левая часть оказалась равной нулю. Значит, a — корень уравнений (3) и (1).

На основании этой теоремы легко решаются следующие задачи.

Задача 1. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы данные числа.

Пусть m и n — данные числа. На основании теоремы, обратной теореме Виета, m и n являются корнями уравнения:

x² – (m + n)x + mn = 0.

Пусть, например, m = 3; n = –5.

Тогда

m + n = –2; mn = –15.

Искомое уравнение:

x² + 2x – 15 = 0.

Задача 2. Решить систему уравнений:

На основании той же теоремы заключаем, что x и y являются корнями уравнения:

z² – az + b = 0.

Решив его (если a² – 4b ≥ 0), найдем два значения (различных или равных) z₁ и z₂. Тогда, положив

x = z₁, y = z₂, и x = z₂, y = z₁,

получим два (или одно) решения системы.

Пример 1.

Здесь 4² – 4(–21) = 100 > 0. Уравнение z² – 4z – 21 = 0 имеет корни: z₁ = –3, z₂ = 7; система имеет два решения:

Пример 2.

Здесь 10² – 4 * 25 = 0. Система имеет одно решение:

Пример 3.

Здесь 7² – 4 * 15 = –11 < 0. Система не имеет решений.