Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях

До этого мы решали уравнения, в которых неизвестное входило в одну часть уравнения. Но могут быть уравнения, которые содержат неизвестное в обеих частях, например:

3x – 17 = 18 – 2x.

Мы сумеем решить уравнение такого вида, если сможем преобразовать его так, чтобы члены, содержащие неизвестное, оказались только в одной части уравнения (то есть приведем уравнение к такому виду, который мы уже умеем решать).

Воспользовавшись первым свойством уравнения, мы легко решим уравнение

3x – 17 = 18 – 2x.

Прибавив к обеим частям этого уравнения по 2x, получим уравнение, равносильное данному:

3x – 17 + 2x = 18 – 2x + 2x,

или после упрощения:

5x – 17 = 18.

Но это уравнение мы решать уже умеем, получим:

5x = 35, x = 7.

Подставив x = 7 в данное уравнение, получим:

3 * 7 – 17 = 4, 18 – 2 * 7 = 4,
4 = 4.

Корень найден верно.

Выведем некоторые следствия из первого свойства уравнений.

Возьмем уравнение:

2x – 5 + 4x = 17 + 4x.

В обеих частях этого уравнения есть один и тот же член 4x. Очевидно, если мы прибавим к обеим частям по –4x (или, что то же, вычтем 4x), то вместо этих членов в обеих частях уравнения будем иметь нули и сразу получим уравнение 2x – 5 = 17, равносильное данному.

Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.

Возьмем уравнение:

3x + 11 = 26 – 2x.

Чтобы сгруппировать в левой части члены, содержащие неизвестное, нужно к обеим частям уравнения прибавить по 2x, а чтобы сгруппировать в правой части свободные члены, надо к обеим частям прибавить по –11.

Получим:

3x + 11 + 2x – 11 = 26 – 2x + 2x – 11,

или

3x + 2x = 26 – 11.

Сравнивая это уравнение с данным, видим, что член –2x оказался в левой части, а 11 — в правой, но оба при этом изменили знак на противоположный. Отсюда правило:

Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, переменив его знак на противоположный.

Пример.

7x – 11 – 2x + 4 = 3x + 18 + x – 2.

Перенесем все члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а все свободные члены — в правую, переменив у каждого из них знак на противоположный. Получим:

7x – 2x – 3xx = 18 – 2 + 11 – 4,

или

x = 23.