Уравнение с тремя неизвестными

1. Одно уравнение с тремя неизвестными.

Рассмотрим, например, такое уравнение с тремя неизвестными:

     15x + 10y + 8z = 164.     (1)

Можно показать, что уравнение (1) имеет бесконечное множество решений. Действительно, взяв для x и y какие-либо произвольные числа, например x = 2, y = 5, и подставив эти значения в уравнение, получим:

15 * 2 + 10 * 5 + 8z = 164,

или

80 + 8z = 164.

Откуда найдем:

Дав другие произвольные значения x и y, получим другое значение для z и т. д.

Итак, одно уравнение с тремя неизвестными имеет (в общем случае) бесконечное множество решений.

2. Система двух уравнений с тремя неизвестными.

Теперь рассмотрим систему двух уравнений с тремя неизвестными.

Присоединим к уравнению (1), например, следующее уравнение:

     x + y + z = 16.    (2)

Итак, имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными. Покажем, что и эта система имеет бесконечное множество решений. Убедимся подстановкой, что системе удовлетворяют, например, следующие тройки чисел:

1) x = 2, y = 11, z = 3; 2) x = 4, y = 4, z = 8.

Дадим теперь одному из неизвестных, хотя бы x, какое-либо произвольное значение, например . Подставив это значение в уравнения (1) и (2), получим:

Решив эту систему, найдем:

Итак, система имеет еще решения:

Взяв за x другое значение, получим новую систему с двумя неизвестными, из которой найдем y и z, и т. д.

Значит, вообще говоря, система двух уравнений с тремя неизвестными тоже имеет бесконечное множество решений.

Однако можно привести пример системы, не имеющей ни одного решения, например:

Какие бы значения ни имели x, y и z, выражение x – y + 2z не может одновременно быть равно 5 и 7.