Система трех уравнений с тремя неизвестными

Присоединим к уравнениям

     15x + 10y + 8z = 164,      (1)
     x + y + z = 16      (2)

третье уравнение:

    z = 2y.    (3)

Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными.

Прежде всего заметим, что все свойства, о которых говорилось в § 48, остаются справедливыми и для системы уравнений с тремя (и более) неизвестными. Поэтому для решения данной системы применимы те же способы, что и для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.

1. Способ алгебраического сложения.

Так как уравнение (3) уже не содержит x, то исключим x из системы уравнений (1) и (2). Для этого умножим обе части уравнения (2) на 15. Получим систему:

Коэффициенты при x равны. Вычтем из первого уравнения второе, тогда получим:

5y + 7z = 76.

Получили уравнение с двумя неизвестными y и z. Вместе с уравнением (3) оно образует систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решив ее одним из способов, изложенных в § 80, найдем:

y = 4; z = 8.

Подставив эти значения в (1) или (2) уравнение, найдем: x = 4.

Итак, если данная система трех уравнений с тремя неизвестными имеет решение, то это решение будет следующей тройкой чисел:

x = 4; y = 4; z = 8.

Подставляя эти значения в данную систему, можно убедиться, что полученная тройка чисел является решением системы.

2. Способ подстановки.

Для данной системы этот способ более удобен, так как в уравнении (3) неизвестное z уже выражено через y. Сделав подстановку в уравнении (1) и (2), получим:

или

(4) (5)

Решим эту систему любым способом, изложенным в § 80, например способом алгебраического сложения.

Умножим уравнение (5) на 15 и вычтем из него уравнение (4):

19y = 76.

Отсюда найдем: y = 4.

Подставив найденное значение y в уравнение (5), найдем: x = 4. Наконец, подставив значение y в (3), найдем: z = 8. Получили то же решение, что и первым способом.

Решим еще систему способом алгебраического сложения:

Исключим одно из неизвестных, например z. Для этого сложим первое и второе уравнение, получим:

3x + y = 13.

Умножим теперь второе уравнение на 2 и сложим с третьим, получим:

5x + 6y = 26.

Оба полученных уравнения образуют систему уравнений с двумя неизвестными:

Решим ее одним из известных способов, найдем: x = 4, y = 1. Подставив эти значения в одно из данных уравнений, например в первое, найдем: z = 2. Итак, если данная система имеет решение, то оно может быть только такое: x = 4; y = 1; z = 2. Подставив эти значения во второе и третье уравнения, убедимся, что они действительно дают решение данной системы.