Решение задач с помощью уравнений
Вспомним, в каком порядке мы до сих пор решали задачи с помощью уравнений.
- Обозначали буквой (обычно буквой x) неизвестное число, определить которое требуется вопросом задачи.
- С помощью этой буквы и данных в задаче чисел выражали другие неизвестные числа, о которых говорится в задаче.
- Составляли выражение, которое было бы равно одному из чисел, данных в задаче.
- Приравнивали полученное выражение и к этому числу. Получали уравнение.
- Решали уравнение и получали ответ на вопрос задачи.
- Если задача требовала найти не одно, а несколько чисел, то, узнав одно из них, находили и остальные.
Покажем все эти этапы на решении таких задач.
Задача 1. Длина Днепра и Дона вместе равна 4255 км. Днепр длиннее Дона на 315 км. Какова длина Днепра и Дона в отдельности?
1) В задаче требуется узнать два числа: длину Днепра и длину Дона. Обозначим через x любое из них, например длину Дона. Запишем это:
длина Дона x километров.
2) Другое неизвестное число — длина Днепра. Но в задаче сказано, что Днепр длиннее Дона на 315 км. Значит, чтобы выразить длину Днепра, достаточно к длине Дона прибавить 315 км. Запишем:
длина Днепра (x + 315) километров.
3) В задаче имеется еще одно данное — общая длина Днепра и Дона. Но мы можем выразить эту общую длину и другим способом, сложив уже выраженные через x длины Дона и Днепра.
Запишем: длина Дона и Днепра вместе [x + (x + 315)] километров.
4) Так как общая длина Днепра и Дона по условию задачи равна 4255 км, то составляем уравнение:
x + (x + 315) = 4255.
5) Решив уравнение, найдем: x = 1970.
Итак, длина Дона равна 1970 км.
6) В задаче требуется найти еще и длину Днепра. Но она у нас уже записана во втором пункте. Подставив 1970 вместо x, получим:
длина Днепра равна 1970 + 315 = 2285 (км).
Задача 2. Для детского сада купили 16 больших и малых мячей, всего на 24,4 руб. Большой мяч стоил 2,5 руб., малый 1,2 руб. Сколько было куплено тех и других мячей в отдельности?
Решение проведем в таком порядке.
1) Больших мячей куплено x штук.
2) Малых мячей куплено (16 – x) штук.
3) Все большие мячи стоили 2,5x рублей.
4) Все малые мячи стоили [1,2(16 – x)] рублей.
5) Все большие и малые мячи вместе стоили [2,5x + 1,2(16 – x)] рублей.
По условию
2,5x + 1,2(16 – x) = 24,4.
6) Решив уравнение, найдем: x = 4.
7) Малых мячей куплено 16 – 4 = 12 (шт.).
При решении этой задачи для каждого сорта мячей имелись три зависящие друг от друга величины: число мячей, стоимость одного мяча и стоимость всех мячей. Эта зависимость становится более ясной, а отсюда и составление уравнения будет более легким, если весь ход решения записать не по отдельным пунктам, как сделано выше, а в виде таблицы.
Составим такую таблицу:
Заполним клетки этой таблицы в таком порядке:
1) записываем в третьем столбце известные цены одного мяча; 2) записываем буквой x во втором столбце число больших или малых мячей; тогда число других мячей запишется через 16 – x; 3) заполняем четвертый столбец, умножая цену мяча на их число.
Вся таблица заполнена. Остается сложить выражения в четвертом столбце и сумму приравнять к 24,4. Получим уравнение.
Все решение представится в виде такой записи:
По условию:
2,5x + 1,2(16 – x) = 24,4.
Предлагается решить эту задачу с помощью составления таблицы, обозначив через x число малых мячей.
Задача 3. На первом складе было 2300 м3 дров, на втором 2800 м3. Со второго склада взяли впятеро больше дров, чем с первого, и тогда на обоих складах дров стало поровну. Сколько дров взяли с каждого склада?
Так как в задаче сказано, что дров на обоих складах осталось поровну, то выразим с помощью x остаток дров на каждом складе и приравняем эти остатки.
Решение будет иметь такой вид.
1) С первого склада взяли x м3.
2) Осталось на первом складе (2300 – x) м3.
3) Со второго склада взяли 5x м3.
4) Осталось на втором складе (2800 – 5x) м3.
5) По условию
2300 – x = 2800 – 5x.
6) Решаем уравнение:
4x = 500; x = 125.
7) С первого склада взято 125 м3.
Со второго склада взято 125 * 5 = 625 (м3).
8) Проверка. 2300 – 125 = 2175, 2800 – 625 = 2175.
Для составления уравнения и здесь очень удобно представить ход решения в виде таблицы:
По условию
2300 – x = 2800 – 5x.