Решение задач с помощью уравнений

Вспомним, в каком порядке мы до сих пор решали задачи с помощью уравнений.

  1. Обозначали буквой (обычно буквой x) неизвестное число, определить которое требуется вопросом задачи.
  2. С помощью этой буквы и данных в задаче чисел выражали другие неизвестные числа, о которых говорится в задаче.
  3. Составляли выражение, которое было бы равно одному из чисел, данных в задаче.
  4. Приравнивали полученное выражение и к этому числу. Получали уравнение.
  5. Решали уравнение и получали ответ на вопрос задачи.
  6. Если задача требовала найти не одно, а несколько чисел, то, узнав одно из них, находили и остальные.

Покажем все эти этапы на решении таких задач.

Задача 1. Длина Днепра и Дона вместе равна 4255 км. Днепр длиннее Дона на 315 км. Какова длина Днепра и Дона в отдельности?

1) В задаче требуется узнать два числа: длину Днепра и длину Дона. Обозначим через x любое из них, например длину Дона. Запишем это:
длина Дона x километров.

2) Другое неизвестное число — длина Днепра. Но в задаче сказано, что Днепр длиннее Дона на 315 км. Значит, чтобы выразить длину Днепра, достаточно к длине Дона прибавить 315 км. Запишем:
длина Днепра (x + 315) километров.

3) В задаче имеется еще одно данное — общая длина Днепра и Дона. Но мы можем выразить эту общую длину и другим способом, сложив уже выраженные через x длины Дона и Днепра.
Запишем: длина Дона и Днепра вместе [x + (x + 315)] километров.

4) Так как общая длина Днепра и Дона по условию задачи равна 4255 км, то составляем уравнение:

x + (x + 315) = 4255.

5) Решив уравнение, найдем: x = 1970.
Итак, длина Дона равна 1970 км.

6) В задаче требуется найти еще и длину Днепра. Но она у нас уже записана во втором пункте. Подставив 1970 вместо x, получим:
длина Днепра равна 1970 + 315 = 2285 (км).

Задача 2. Для детского сада купили 16 больших и малых мячей, всего на 24,4 руб. Большой мяч стоил 2,5 руб., малый 1,2 руб. Сколько было куплено тех и других мячей в отдельности?

Решение проведем в таком порядке.
1) Больших мячей куплено x штук.

2) Малых мячей куплено (16 – x) штук.

3) Все большие мячи стоили 2,5x рублей.

4) Все малые мячи стоили [1,2(16 – x)] рублей.

5) Все большие и малые мячи вместе стоили [2,5x + 1,2(16 – x)] рублей.
По условию

2,5x + 1,2(16 – x) = 24,4.

6) Решив уравнение, найдем: x = 4.

7) Малых мячей куплено 16 – 4 = 12 (шт.).

При решении этой задачи для каждого сорта мячей имелись три зависящие друг от друга величины: число мячей, стоимость одного мяча и стоимость всех мячей. Эта зависимость становится более ясной, а отсюда и составление уравнения будет более легким, если весь ход решения записать не по отдельным пунктам, как сделано выше, а в виде таблицы.

Составим такую таблицу:

Заполним клетки этой таблицы в таком порядке:

1) записываем в третьем столбце известные цены одного мяча; 2) записываем буквой x во втором столбце число больших или малых мячей; тогда число других мячей запишется через 16 – x; 3) заполняем четвертый столбец, умножая цену мяча на их число.

Вся таблица заполнена. Остается сложить выражения в четвертом столбце и сумму приравнять к 24,4. Получим уравнение.

Все решение представится в виде такой записи:

По условию:

2,5x + 1,2(16 – x) = 24,4.

Предлагается решить эту задачу с помощью составления таблицы, обозначив через x число малых мячей.

Задача 3. На первом складе было 2300 м3 дров, на втором 2800 м3. Со второго склада взяли впятеро больше дров, чем с первого, и тогда на обоих складах дров стало поровну. Сколько дров взяли с каждого склада?

Так как в задаче сказано, что дров на обоих складах осталось поровну, то выразим с помощью x остаток дров на каждом складе и приравняем эти остатки.

Решение будет иметь такой вид.

1) С первого склада взяли x м3.

2) Осталось на первом складе (2300 – x) м3.

3) Со второго склада взяли 5x м3.

4) Осталось на втором складе (2800 – 5x) м3.

5) По условию

2300 – x = 2800 – 5x.

6) Решаем уравнение:

4x = 500;    x = 125.

7) С первого склада взято 125 м3.
Со второго склада взято 125 * 5 = 625 (м3).

8) Проверка. 2300 – 125 = 2175, 2800 – 625 = 2175.

Для составления уравнения и здесь очень удобно представить ход решения в виде таблицы:

По условию

2300 – x = 2800 – 5x.