Вычитание рациональных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению.

Вычесть из одного числа другое — значит найти такое третье число, которое, будучи сложено со вторым числом, даст первое число.

Другими словами, вычесть из какого-либо числа a число b — значит найти такое третье число c, чтобы было справедливо равенство:

c + b = a.

Например:

5 - (+7) = -2, так как (-2) + (+7) = +5;
(-3) - (+8) = -11, так как (-11) + (+8) = -3;
(-1) - (-5) = +4, так как (+4) + (-5) = -1.

Чтобы вывести общее правило вычитания для любых рациональных чисел, поступим следующим образом. Заменим в предыдущих примерах вычитание прибавлением числа, противоположного вычитаемому. Получим:

5 + (-7) = -2;
(-3) + (-8) = -11;
(-1) + (+5) = +4.

Как видим, мы получили те же результаты, что и при вычитании. Следовательно, можно ввести правило:
Чтобы из одного числа вычесть другое, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

a – b = a + (-b).

Докажем это правило.
Нам надо доказать справедливость равенства

           a – b = a + (-b)           (1)

при любых a и b.

Если выражение a + (-b) в правой части является разностью чисел a и b, то, сложив его с вычитаемым b, мы должны получить уменьшаемое a.

Проверим это; сложив a + (-b) и b, получим:

[a + (-b)] + (+b).

По сочетательному закону сложения это выражение запишем так:

[a + (-b)] + (+b) = a + [(-b) + (+b)] = a + 0 = a.

Получили уменьшаемое. Значит равенство (1) верно.

Приведенное правило заменяет вычитание сложением, а правило сложения нам уже известно.

Итак, оказалось, что вычитание одного рационального числа из другого можно заменить сложением двух рациональных чисел. Но сложение двух рациональных чисел всегда возможно и дает единственный результат (§ 12). Значит, мы можем заключить, что в множестве рациональных чисел вычитание всегда возможно и дает единственный результат (как говорят, однозначно).

В арифметике, где действия выполнялись лишь над положительными числами, вычитание было не всегда возможно (например, из 5 нельзя вычесть 6), а теперь, когда мы ввели отрицательные числа, вычитание в множестве рациональных чисел стало всегда возможным.

Известные из арифметики свойства вычитания остаются в силе для любых рациональных чисел. Напомним эти свойства.

1. Прибавление разности.
Чтобы прибавить разность, можно прибавить уменьшаемое и от результата отнять вычитаемое.

Например:

(-7) + [(+3) - (-10)] = (-7) + (+13) = 6,
[(-7) + (+3)] - (-10) = (-4) - (-10) = (-4) + (+10) = 6.

Значит,

(-7) + [(+3) - (-10)] = [(-7) + (+3)] - (-10).

В общем виде это свойство можно записать так:

a + (b – c) = (a + b) – c.

2. Вычитание суммы.
Чтобы вычесть сумму нескольких чисел, можно вычесть первое слагаемое, из результата вычесть второе и так далее до конца.
Пример.

(-7) - [(-3) + (+8)] = (-7) - (+5) = -12,
[(-7) - (-3)] - (+8) = (-4) + (-8) = -12.

3. Вычитание разности.
Чтобы вычесть разность, можно вычесть уменьшаемое и к результату прибавить вычитаемое.

Пример.

(-8) - [(-6) - (+3)] = (-8) - (-9) = 1

и

[(-8) - (-6)] + (+3) = (-2) + (+3) = 1.

В общем виде:

a – (b – c) = (a – b) + c.