Вычисление квадратов чисел по таблицам и при помощи счетной линейки

Вычисление квадратов чисел по таблице. Для практических вычислений составляются специальные таблицы, в которых приводятся квадраты чисел.

В учебном пособии В. М. Брадиса «Четырехзначные математические таблицы» имеется таблица квадратов чисел, состоящих не более чем из четырех цифр.

Квадраты чисел, состоящих из одной или двух цифр, находятся легко. В первом столбце таблицы размещены числа от 1 до 10 с промежутками в 0,1. Рядом с каждым из этих чисел во втором столбце помещен его квадрат, например:

4,32 = 18,49; 5,62 = 31,36; 8,02 = 64.

Если в первых двух столбцах таблицы не будем обращать внимания на запятые, то получим таблицу квадратов целых чисел от 10 до 100, например:

432 = 1849; 562 = 3136; 802 = 6400.

В самом деле, число 43 в 10 раз больше числа 4,3, то есть 43 = 10 *4,3. Отсюда найдем, что 432 в 100 раз больше, чем 4,32:

432 = 102 * 4,32.

Увеличив число 4,32 = 18,49 в 100 раз, мы и получим 1849.

Эти же два столбца могут служить для нахождения квадратов любых чисел, состоящих из двух цифр с нулями перед ними или после них.

Для этого надо запомнить правило:

Если в числе перенести запятую вправо или влево на несколько цифр, то в квадрате этого числа надо перенести запятую в ту же сторону на удвоенное количество цифр.

Возьмем, например, число 0,078. Оно в 100 раз меньше числа 7,8:


Значит, число 7,82 = 60,84 надо уменьшить в 10000 раз: 0,0782 = 0,006084, то есть надо перенести замятую на 4 знака влево.

Таблица квадратов в книге В. М. Брадиса, кроме двух столбцов, рассмотренных выше, содержит еще столбцы, помеченные вверху и внизу номерами от 1 до 9. Эти столбцы служат для нахождения квадратов чисел от 1 до 10, состоящих из трех цифр, то есть содержащих, кроме десятых долей, еще и сотые.

Покажем на примере, как находить квадраты таких чисел.

Пусть требуется найти квадрат числа 7,24. В первом столбце находим число 7,2 (первые две цифры данного числа). В той же строке в столбце под номером 4 (третья цифра данного числа) находим число 52,42 — квадрат числа 7,24.

Но если мы будем находить квадрат числа 7,24 умножением, то получим:

7,242 = 7,24 * 7,24 = 52,4176,

а не 52,42. Значит, в таблице дано лишь приближенное значение квадрата числа 7,24.

Число 52,4176 округлено до четырех цифр. При этом последняя оставленная цифра увеличена на единицу, так как отброшенная часть составляет больше половины единицы последнего оставленного разряда, то есть больше 0,005 (число 52,42 ближе к 52,4176, чем число 52,41).

Таким же образом находим в таблице:

2,482 = 6,150      вместо 6,1504;
1,742 = 3,150      вместо 3,0276;
5,792 = 33,52      вместо 33,5241;
9,162 = 83,91     вместо 83,9056.

Для нахождения квадратов чисел, имеющих четыре цифры, в таблицах В. М. Брадиса справа помещены еще 9 занумерованных столбцов - «поправок».

Пусть требуется найти квадрат числа 7,824. Находим по предыдущему квадрат числа 7,82. Он равен 61,15. Затем в той же строке в столбце «поправок» за номером 4 (последняя цифра заданного числа) находим число 6, которое и прибавляем к последней цифре числа 61,15.

Получаем:

.

Еще пример: найдем 47,332.
Найдем сначала 4,732. По таблице находим: . В столбце «поправок» за номером 3 находим число 3, которое прибавляем к последней цифре числа 22,37. Получим: . Значит, по правилу, приведенному выше, будем иметь:

.

На практике обычно действия производятся над приближенными числами, руководствуясь правилами приближенных вычислений. Если, например, числовые данные получены измерением с двумя значащими цифрами, то и числа, взятые из таблиц, надо округлить до двух значащих цифр; третья цифра оставляется в качестве запасной, если с числами, взятыми из таблицы, производятся дальнейшие вычисления.

Пример 1. Сторона квадрата равна (приближенно) 4,3 м. Вычислить его площадь S.

Решение. Из таблиц В. М. Брадиса найдем: 4,32 = 18,49. Так как сторона 4,3 дана с двумя значащими цифрами, то и число, взятое из таблицы, следует округлить, оставив в нем две значащие цифры. Итак,

Пример 2. Радиус круга равен (приближенно) 4,3 м. Найти площадь S круга.

Решение. Как известно, площадь круга выражается формулой S = πR2, где R – радиус круга, а π ≈ 3,14. Теперь берем R2 ≈ 4,32 ≈ 18,5. Здесь значение R2 взято из таблицы с округлением до трех значащих цифр. Третья цифра взята как запасная, потому что над R2 производятся дальнейшие вычисления. В окончательном результате надо сохранить две значащие цифры.

S = 3,14 * 18,5 = 58,09 ≈ 58 (кв. м.).

Полезно запомнить очень легкий способ приближенного возведения в квадрат чисел, близких к единице.

Обозначим число, немного большее единицы, через 1 + α. Тогда

(1 + α)2 = 1 + 2α + α2.

Но α2 - очень малое число, которое мы можем отбросить. Получим легко запоминаемую формулу:

(1 + α)2 ≈ 1 + 2α.

Примеры.

1,022 ≈ 1,04 (точный результат: 1,0404);
1,042 ≈ 1,08 (точный результат: 1,0816).

Мы видим, что, округлив до трех цифр точные квадраты, получим как раз те же числа, которые получили устно по формуле.

Пользуясь этой же формулой, мы можем устно вычислить:

10,22 ≈ 104; 10,42 ≈ 108; 10,52 ≈ 110;
1022 ≈ 10400; 1032 ≈ 10600; 1042 ≈ 10800.

Здесь мы применили правило о переносе запятой, приведенное в начале этого параграфа.

Можно вычислять в уме квадраты чисел, немного меньших единицы.

Обозначим точное число через 1 – α:

(1 – α)2 = 1 – 2α + α2.

Отбрасывая малое число α2, получим:

(1 – α)2 = 1 – 2α.

Примеры.

0,982 = (1 – 0,02)2 ≈ 1 – 0,04 = 0,96;
0,972 ≈ 1 – 0,06 = 0,94;
9,92 ≈ 100 – 2 = 98.

Возведение чисел в квадрат на счетной линейке. Очень легко на линейке находить приближенное значение квадрата любого числа. Для этого на корпусе линейки имеется шкала квадратов A (черт. 52). Эта шкала состоит из двух частей, каждая из которых представляет собой основную шкалу D, но уменьшенную вдвое.

Если поставить визирную черту на любое число основной шкалы D, то на шкале квадратов A прочтем квадрат этого числа.

На чертеже 39 читаем: 22 = 4.

Ниже приведено несколько примеров возведения чисел в квадрат и для сравнения даны квадраты этих же чисел, вычисленные по четырехзначным таблицам.


Так же как при умножении и делении на линейке, место запятой результата возведения в квадрат определяем грубой прикидкой. Читая 6,32 как три — девять — семь, выясняем, что это не может быть ни 3,97, ни 397; значит, 6,32 = 39,7.

С большой скоростью и простотой вычисляются на линейке комбинации из нескольких действий. Найдем значение x = 4,53 * 2,382.

Ставим визир против 2,38 на основной шкале D. Тогда на шкале квадратов A визир покажет число 2,382. Не читая этого числа и не трогая бегунка, переставим движок так, чтобы его начало 1 совпало с визирной чертой.


Теперь передвигаем бегунок и против 4,53 на шкале B читаем на шкале A окончательный ответ 25,7. Для нахождения результата понадобилось только одно перемещение движка (черт. 53). Так же экономно вычислим площадь круга, если радиус его R = 15,3 см. По формуле S = πR2 найдем: S = π * 15,32 = 735 см2. (Число π на линейке имеет специальную метку) (черт. 54).