Приведение подобных членов

Задача 1. Тетрадь стоит a копеек. Коля купил 3 тетради, Вера 7, а Вася 5 тетрадей. 1) Сколько заплатил каждый? 2) Сколько стоили все купленный тетради?

Ответом на первый вопрос будут выражения:

     3a; 7a; 5a (копеек).     (1)

Ответом на второй вопрос будет сумма этих выражений:

    (3a + 7a + 5a) копеек.    (2)

Это последнее выражение можно упростить. На основании распределительного закона запишем:

3a + 7a + 5a = (3 + 7 + 5)a = 15a.

Выражение (2) мы заменили тождественным ему выражением 15a.

При любом значении a значение выражения 15a вычисляется быстрее и легче, чем значение выражения (2).

Определение 1. Одинаковые или отличающиеся только коэффициентами одночлены называются подобными.

Например, одночлены 5ax2y и 10ax2y подобны, а одночлены 3ax2y и 3a2x2y не подобны.

В равенстве 3a + 7a + 5a = 15a алгебраическая сумма подобных членов заменена одним членом, тождественным этой сумме.

Определение 2. Замена алгебраической суммы подобных членов одним членом, тождественным этой сумме, называется приведением подобных членов.

Таким образом, приведение подобных членов есть тождественное преобразование.

Правило. Чтобы привести подобные члены, надо сложить их коэффициенты и к полученной сумме приписать (в виде сомножителя) то же буквенное выражение.

Пример. 3a2b – a2b + 7,4a2b = (3 – 1 + 7,4)a2b = 9,4a2b.

(Проверить подстановкой: a = 2; b = 5.)

В дальнейшем, как правило, мы будем упрощать всякий данный многочлен, сделав в нем с самого начала приведение подобных членов (если они были), так что окончательно получится такой многочлен, в котором никакие два члена не подобны.

Пример. Возьмем многочлен

2x2 – x + 4x3 + 2x + 4x2 + 7

и выполним следующие тождественные преобразования.

Воспользуемся переместительным и сочетательным законами сложения: на первом месте напишем старший член 4x3 — он не имеет подобных; затем выпишем два подобных члена, содержащих x2 (первый и пятый); затем выпишем подобные члены, содержащие x (второй и четвертый), и, наконец, напишем свободный член:

4x3 + (2x2 + 4x2) + (–x + 2x) + 7.

Окончательно получим:

4x3 + 6x2 + x + 7.

Мы сделали приведение подобных членов и вместе с тем расположили члены по убывающим степеням буквы x.