Применение формул сокращенного умножения

Иногда многочлен удается разложить на множители, применив одну из формул сокращенного умножения (§ 41). Запишем третью из формул § 41 в обратном порядке:

a2 – b2 = (a + b)(a – b).

В левой части этого равенства двучлен, в правой же он представлен в виде произведения, то есть разложен на множители.

Значит, разность квадратов двух чисел можно представить в виде произведения суммы этих чисел на их разность.

Пример. 16a4b2 – 9x6 = (4a2b + 3x3)(4a2b – 3x3).

Возьмем теперь формулу:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.

Значит, если данный трехчлен представляет собой сумму двух квадратов, сложенную с удвоенным произведением их оснований, то его можно представить в виде квадрата суммы (то есть в виде произведения двух одинаковых множителей).

Примеры.

  1. x2 + 12x + 36 = (x + 6)2.
  2. 4a2b2 + 20abc2 + 25c4 = (2ab + 5c2)2.

Точно так же применяется формула:

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2.

Примеры.

  1. 16m2 – 8m + 1 = (4m – 1)2.
  2. Вычислите выражение

a2 – 14a + 49 при a = 47.

Вычисления выполняются в уме, если выражение разложить на множители:

a2 – 14a + 49 = (a – 7)2.

Подставив в правую часть a = 47, сразу получаем:

(47 – 7)2 = 402 = 1600.

Также применяются формулы:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3.
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
.

Пример.
Вычислить выражение

a = x3 + 9x2 + 27x + 27 при x = 17.

Разложив данный многочлен на множители, получим:

x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3.

Подставив x = 17, найдем: a = 203 = 8000.

Кроме перечисленных выше формул сокращенного умножения, применяются еще формулы, позволяющие разложить на множители сумму или разность кубов двух чисел.

Рассмотрим трехчлен a2 – ab + b2, который называется неполным квадратом разности чисел a и b. Умножим его на a + b:


Отсюда имеем:

    (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3.    (1)

Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности равно сумме кубов этих чисел.

Эту формулу можно читать справа налево так:
Сумма кубов двух чисел равна сумме этих чисел, умноженной на неполный квадрат их разности:

    a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)     (2)

Это и есть формула разложения на множители суммы кубов двух чисел.

Умножим трехчлен a2 + ab + b2, который называется неполным квадратом суммы чисел a и b, на a – b:


Отсюда имеем:

    (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3.    (3)

Эту формулу можно читать и справа налево:

    a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)    (4)

Формулы (3) и (4) читаются так:

Произведение разности двух чисел на неполный квадрат их суммы равно разности кубов этих чисел.

Разность кубов двух чисел равна разности этих чисел, умноженной на неполный квадрат их суммы.

Примеры.

  1. 27a3b3 + 8c3 = (3ab + 2c)(9a2b2 – 6abc + 4c2).
  2. 64a6b3 – 1 = (4a2b – 1)(16a4b2 + 4a2b + 1).