Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными, например:

(1)

Каждое из них имеет бесконечное множество решений.

Поставим вопрос: среди всех этих решений не будут ли общие для обоих уравнений?

Такие общие решения могут быть, а могут и не быть.

Так, общим решением данных уравнений будет x = 3, y = 5, что легко проверить подстановкой. (Дальше будет показано, что других общих решений эти уравнения иметь не могут.)

Но, например, уравнения

    x + 2y = 15      и      x + 2y = 7          (2)

не имеют ни одного общего решения. В самом деле, какие бы значения мы ни давали x и y, выражение x + 2y не может одновременно равняться 15 и 7. Поэтому ни одно решение первого уравнения не может быть решением второго и ни одно решение второго уравнения не может быть решением первого.

Если отыскиваются общие решения двух или нескольких уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему.

Пара чисел x = 3, y = 5 есть решение системы (1), а система (2) не имеет решений.

Всякая пара значений неизвестных, удовлетворяющая обоим уравнениям, образующим систему, называется решением данной системы.

Решить систему — это значит найти все ее решения.