Трехчлен второй степени

Общий вид трехчлена второй степени, как мы знаем,

ax2 + bx + c,

где a, b и с — любые числа (a ≠ 0). Давая x любые значения, будем получать соответствующие значения трехчлена.

Значит, трехчлен является функцией аргумента x. Обозначим эту функцию через y:

     y = ax2 + bx + c    (1)

Те значения аргумента, которые обращают его в нуль, называются корнями трехчлена. Чтобы найти эти корни, достаточно решить уравнение:

    ax2 + bx + c = 0    (2)

Пример 1.

    y = x2 – 4x – 5      (3)

Приведем таблицу значений этого трехчлена при некоторых значениях x.


Корнями трехчлена являются числа –1 и 5. Эти числа мы могли найти, решив уравнение:

x2 – 4x – 5 = 0.

Рассматривая таблицу, замечаем, что при увеличении значений x значение y сначала убывают, затем возрастают. Докажем, что при x = 2 значение трехчлена y = –9 является наименьшим. Для этого представим трехчлен в таком виде:

y = (x – 2)2 – 9.

Раскрыв скобки, убедимся, что это выражение тождественно с (3).

Отсюда видим, что при любом значении x, кроме x = 2, значение у будет больше (–9), так как к (–9) прибавляется положительное число.

Значит, при x = 2 трехчлен принимает наименьшее значение, равное (–9).

Пример 2.

y = –x2 + 2x + 8.

Составим таблицу:


Таблица показывает, что при увеличении значения x значения трехчлена сначала увеличиваются, затем уменьшаются. Докажем, что при x = 1 трехчлен имеет наибольшее значение. Запишем трехчлен в таком виде:

y = –(x – 1)2 + 9.

Отсюда видим, что при любом значении x, кроме x = 1, значение y будет меньше 9, и только при x = 1 оно будет равно 9, то есть будет наибольшим.

Построим теперь график трехчлена (1), начав с некоторых частных случаев.