Краткие исторические сведения. Квадратный корень

Возведение в квадрат. Практические задачи (например, вычисление площади квадратного участка) уже в глубокой древности приводили к потребности находить квадраты чисел. Очевидно, эта потребность возникала настолько часто, что, так же как и в настоящее время, составлялись специальные таблицы квадратов натуральных чисел.

Особый интерес представляет таблица квадратов чисел от 1 до 60, найденная при раскопках в Вавилоне и составленная около четырех тысяч лет назад.

Приведем выдержки из этой таблицы в современной записи:

Эта запись становится понятной, если первые цифры, стоящие до точки с запятой, считать единицами второго разряда, содержащими 60 единиц первого разряда.

Действительно, тогда мы имеем:

82 = 1 * 60 + 4; 92 = 1 * 60 + 21; 112 = 2 * 60 + 1 и т. д.

Таким образом, эта таблица является одним из свидетельств употребления в древнем Вавилоне шестидесятеричной системы счисления.

В более поздние времена эта система счисления перешла из Вавилона в другие страны. Она применялась главным образом в астрономических вычислениях.

Извлечение корня. К извлечению квадратного корня также еще в древние времена приводили задачи практического характера (например, выделение квадратного участка земли заданной площади, решение задач, приводящих к квадратным уравнениям).

Так, в китайской математической рукописи, написанной во II в. до нашей эры по еще более древним источникам, уже имеется описание способа нахождения квадратных корней.

Умели извлекать квадратные корни из чисел и индийцы еще в IV-V вв. нашей эры. Индийский математик XII в. Бхаскара отмечал, что положительное число имеет два квадратных корня – положительный и отрицательный и что нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Извлечение квадратного корня (например, при решении квадратных уравнений) встречается и в сочинении знаменитого среднеазиатского математика аль-Хорезми.

Интересен способ, по которому древние вавилоняне находили приближенные квадратные корни еще за две тысячи лет до нашей эры. В современной алгебраической записи этот способ может быть выражен формулой

(1)

Пример 1. Найти √28. Так как 28 = 52 + 3, то получим по формуле (1):

Так как 5,32 = 28,09, то приближенный корень получен с достаточно большой точностью.

Пример 2. .

Проверка. 11,412 = 130,1881.

Если правую часть равенства (1) возведем в квадрат, то получим:

Таким образом, квадрат найденного приближенного корня отличается от подкоренного числа на величину . Отсюда следует, что найденный по формуле (1) корень будет тем точнее, чем меньше число b по сравнению с a.