Понятие об извлечении корня

Решим две задачи.

Задача 1. Сторона квадратного участка земли равна 8 м. Определить его площадь.

Площадь S участка равна квадрату его стороны. Значит,

S = 82 = 64 (м2).

Задача 2. Площадь квадратного участка равна 81 м2. Вычислить его сторону.

Эта задача является обратной по отношению к первой. В первой задаче была известна длина стороны квадрата и требовалось найти его площадь; здесь, наоборот, известна площадь квадрата, требуется найти длину его стороны.

Обозначим неизвестную длину стороны квадрата через x метров. Тогда площадь квадрата будет равна x2 м2. Но по условию эта площадь равна 81 м2. Получаем уравнение:

x2 = 81.

Значит, чтобы решить задачу 2, надо найти число, квадрат которого был бы равен 81. Из таблицы квадратов найдем, что таким числом является 9. Действительно,

92 = 9 * 9 = 81.

Число 9 называется корнем второй степени или, короче, квадратным корнем из 81. Точно так же 7 является квадратным корнем из 49, так как 72 = 49; число - квадратный корень из , так как .

Определения. 1. Квадратным корнем из числа a называется число, квадрат которого равен a.

2. Действие, посредством которого отыскивается квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение корня (квадратного) является действием, обратным возведению в квадрат: при возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат; при извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется найти само число.

Поэтому правильность извлечения квадратного корня можно проверить, возведя найденный корень в квадрат; если получится данное число, значит, корень найден верно.

Рассмотрим уравнение

     x2 = a    (1)

при различных значениях a.

1) Пусть a < 0.

В этом случае уравнение (1) не имеет решений. Действительно, какое бы значение x мы ни взяли, квадрат его будет всегда неотрицательным числом (т. е. положительным числом или нулем) и, следовательно, не может равняться отрицательному числу a.

2) Пусть a = 0.

Очевидно, что в этом случае уравнение (1) имеет единственное решение x = 0.

Действительно, 02 = 0 * 0 = 0, если же x ≠ 0, то и x2 ≠ 0.

3) Пусть a > 0.

В этом случае, как мы уже видели на примере уравнения x2 = 81, уравнение может иметь решение.

Из всего сказанного можно сделать вывод:

Для того чтобы из числа можно было извлечь квадратный корень, необходимо, чтобы оно было неотрицательным числом, то есть положительным числом или нулем.