Простейшие преобразования

1. Вынесение множителей за знак квадратного корня.
Пусть дано выражение √162. Мы можем этот корень представить в более простом виде, применив к нему теорему об извлечении корня из произведения (§ 97):

.

Точно так же

Такое преобразование называется вынесением множителя за знак корня.

В результате применения этого преобразования данное выражение упрощается и часто сокращаются требуемые вычисления. В этом можно убедиться на следующих примерах.

Пример 1. Вычислить с точностью до 0,01 выражение √48 + √27 – √108.

Вычислим каждый из корней с точностью до 0,01:

√48 + √27 – √108 ≈ 6,93 + 5,20 – 10,39 = 1,74.

Нам пришлось извлечь квадратный корень из трех чисел, и притом мы не можем быть уверены, что результат действительно даст величину выражения √48 + √27 – √108 с точностью до 0,01 (для уверенности в этом нужно было бы вычислить корни с точностью большей, чем заданная).

Попробуем упростить данное выражение, вынося за знак радикала те множители, которые возможно:

.

Итак, после преобразования нам придется извлечь квадратный корень только из одного числа.

Вычислив его с точностью до 0,01, найдем:

√48 + √27 – √108 = √3 ≈ 1,73.

Теперь видно, что в первом вычислении мы сделали ошибку на одну сотую, то есть получили результат не с заданной точностью.

Пример 2. Вычислить выражение при x = 3.

Подставив в данное выражение x = 3, получим:

.

Нам придется извлечь корень из шестизначного числа.

Мы значительно упростим вычисления, если предварительно вынесем за знак корня те множители, которые возможно. Будем иметь:

.

Подставив теперь x = 3, легко найдем:

.

Во всех предыдущих примерах подкоренное выражение мы разлагали на множители, выделяя такие, показатель которых делится на два, и извлекали из них корень. В дальнейшем надо приобрести навык сразу выносить нужные множители за знак корня, не прибегая к предварительному разложению на множители подкоренного выражения.

Пример 3.

.

Как видно из примеров, для вынесения множителей из-под знака квадратного корня достаточно показатель каждого множителя разделить на два и записать перед знаком корня этот множитель с показателем, равным полученному частному, а под знаком корня тот же множитель с показателем, равным полученному остатку.

В предыдущем примере 4 : 2 = 2 (ост. 0); 7 : 2 = 3 (ост. 1); 13 : 2 = 6 (ост. 1).

2. Внесение множителей под знак квадратного корня. Иногда бывает полезно, наоборот, подвести под знак корня множители, стоящие перед ним.

Пусть, например, требуется вычислить с точностью до 0,001 выражение 20√7. Вычислив √7 с точностью до 0,001 и умножив результат на 20, получим:

20√7 ≈ 20 * 2,646 = 52,920.

Заранее можем сказать, что результат не соответствует заданной точности, так как, умножив приближенное число 2,646 на 20, мы увеличили в 20 раз и ошибку.

Чтобы получить большую точность, возьмем √7 с точностью до 0,0001. Получим:

20√7 ≈ 20 * 2,6457 = 52,914.

Но мы не можем и теперь быть уверены, что достигли требуемой точности.

Произведем вычисления другим способом. Представим данное выражение в таком виде:

.

Вычислив √2800 с точностью до 0,001, получим:

20√7 = √2800 ≈ 52,915.

Такова действительная величина данного выражения, вычисленная с точностью до 0,001.

Рассмотренное преобразование называется внесением множителя под знак корня.

Приведенный пример показывает целесообразность в некоторых случаях такого преобразования.

Чтобы внести под знак квадратного корня стоящие перед ним множители, достаточно возвести эти множители в квадрат и подкоренное выражение умножить на полученный результат.

Примеры.

В двух первых примерах сначала множитель, стоящий перед знаком корня, был подведен под знак корня, затем произведено умножение.

В третьем примере обе эти операции были выполнены сразу.

3. Приведение подкоренного выражения к целому виду. Если подкоренное выражение дробное, то часто бывает целесообразно привести его к целому виду, или, как говорят, освободить подкоренное выражение от знаменателя.

Покажем на примерах, как это делается.

Пример 1.

Чтобы из знаменателя подкоренного выражения можно было извлечь корень, умножим числитель и знаменатель этого выражения на a. Получим:

Пример 2.

Умножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на xy, извлечем квадратный корень из знаменателя. По сокращении получим:

.

Значит, чтобы привести подкоренное выражение к целому виду, достаточно его числитель и знаменатель умножить на такое выражение, чтобы показатели всех сомножителей в знаменателе делились на два; после этого извлечь корень из знаменателя.

Примечание. Во всех предыдущих примерах буквы обозначали неотрицательные числа; если это условие не выполнено, то надо поступать так, как пояснено на следующих примерах.

Пример 1.

, где a < 0, b > 0;

вынести a за знак корня.

Мы знаем, что при a < 0

√a2 = –a,

поэтому

.

При любом a верно такое равенство:

.

Пример 2. Внести множитель x под знак корня , если x < 0.

Если x — отрицательное число, то x = –|x|, где |x| - положительное число; значит,

,

так как |x|2 = x2.

Так, в частности, .