Основное свойство дроби и сокращение дробей

Дробь, у которой числитель и знаменатель являются любыми рациональными числами (при условии, что знаменатель не равен нулю), обладают следующим основным свойством:

Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же не равное нулю число:

,

где m может быть любым числом — целым и дробным, положительным и отрицательным, но не равным нулю.

Для алгебраической дроби основное свойство формулируется так:

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить на один и тот же многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.

Поясним это следующим примером. Рассмотрим дробь

. (1)

Умножим ее числитель и знаменатель на двучлен x – 2, тогда получим следующую дробь:

. (2)

Мы считаем допустимыми лишь те значения x, при которых знаменатель данной дроби (1), а также многочлен, на который умножают ее числитель и знаменатель, не равны нулю. Но от умножения числителя и знаменателя дроби (1) на число, не равное нулю, ее значение не меняется. Итак, при любых допустимых значениях x дроби (1) и (2) имеют одно и то же значение, то есть эти дроби тождественны:

Или, выполнив умножение в числителе и знаменателе второй дроби, получим:

Примечание. В нашем примере допустимыми являются все значения x, кроме числе 2 и 3: при x = 3 обращается в нуль знаменатель данной дроби (1), а при x = 2 обращается в нуль множитель, на который умножаются ее числитель и знаменатель.

Сокращение дробей. Перепишем последнее равенство в обратном порядке, переставив между собой его правую и левую части:

Мы преобразовали дробь в более простую дробь , разделив числитель и знаменатель на общий множитель x – 2.

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби разделить на один и тот же многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.

Этим свойством пользуются для упрощения дроби: если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, то, разделив на него числитель и знаменатель, приведем дробь к более простому виду.

Такое преобразование называется сокращением дроби.

Примеры.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, надо предварительно разложить числитель и знаменатель на множители (если это возможно) и после этого произвести возможные сокращения.

Пример.