Приведенное квадратное уравнение

Задача. Одна сторона прямоугольника на 6 см меньше другой. Площадь его равна 40 см2. Вычислить стороны прямоугольника.

Решение. Пусть большая сторона равна x см.

Тогда вторая сторона равна (x – 6) см, а площадь прямоугольника равна x(x – 6) см2.

По условию

x(x – 6) = 40.

Приведем это уравнение к нормальному виду:

x2 – 6x – 40 = 0.

Получили приведенное квадратное уравнение. Чтобы решить его, выделим в левой части квадрат двучлена. Замечая, что

x2 – 6 = x2 – 2 * 3 * x,

дополним это выражение до полного квадрата. Прибавив к этому выражению 32, получим квадрат двучлена x – 3. Поэтому прибавим 9 к левой части уравнения x2 – 6x – 40 = 0 и вычтем то же число. Получим:

x2 – 6x + 9 – 9 – 40 = 0,

или

(x – 3)2 – 49 = 0.

Из последнего уравнения найдем:

x – 3 = ±7, или x = 3 ± 7.

Отсюда получим два корня уравнения:

x1 = –4, x2 = 10.

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Но по смыслу задачи для x допустимыми являются только положительные значения (и притом большие шести). Следовательно, задача имеет единственное решение: большая сторона прямоугольника равна 10 см, а меньшая 10 – 6 = 4 см.

Решим приведенное квадратное уравнение в общем виде.

Пусть дано уравнение:

     x2 + px + q = 0.      (1)

Чтобы решить его, поступим так же, как и в приведенном выше примере.
Так как , то, если прибавим и вычтем в левой части уравнения (1) одно и то же число , получим:

(2)

Левая часть уравнения (2) неотрицательна, а относительно выражения представится три случая.

Случай 1.

> 0.

Из уравнения (2) находим:

(A)

Мы получили два корня:

Итак, в этом случае уравнение (1) имеет два корня.

Формула (A) является общей формулой корней приведенного квадратного уравнения. Словами ее можно выразить так:

Корни приведенного квадратного уравнения равны половине второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квадрата этой половины без свободного члена.

Запомнив формулу (A), мы можем найти корни приведенного квадратного уравнения, не производя преобразований (рассмотренных ранее), а просто подставив в формулу (A) данные значения p и q.

Примеры.

1. x2 – 7x + 10 = 0.

Здесь p = –7, q = 10. Вычислим сначала подкоренное выражение в формуле (A):

Уравнение имеет два решения.

Подставив в формулу (A) значения p и q, получим:

Отсюда имеем: .
Подстановкой убедимся, что корни найдены верно.

2. x2 + x – 3 = 0.

Здесь p = 1, q = –3, .
Подставив в формулу (A) значения p и q, получим:

Корни уравнения можно найти приближенно. Положив, например,

√13 ≈ 3,6, найдем: x1 ≈ –(4,6 : 2) = –2,3; x2 ≈ 1,3.

Проверим, например, корень x1:

(–2,3)2 – 2,3 – 3 = 5,29 – 2,3 – 3 = –0,01.

Мы получили результат, близкий к нулю. Если взять корень с большей точностью, то при проверке получим результат, более близкий к нулю.

Случай 2.

= 0

Тогда уравнение (2) примет вид:

Отсюда

Итак, в этом случае имеем один корень.

Пример.

x2 – 8x + 16 = 0.
p = –8; q = 16; .

Левая часть является квадратом двучлена. Имеем:

(x – 4)2 = 0; x – 4 = 0; x = 4.

Случай 3.

< 0

Возьмем уравнение (2):

Правая часть этого уравнения — отрицательное число. Левая же часть ни при каком значении x отрицательной быть не может. Следовательно, в этом случае уравнение (1) не имеет корней.

Пример.

x2 – 6x + 13 = 0.

Здесь , и уравнение не имеет корней.

Действительно, представив уравнение в виде

(x – 3)2 + 4 = 0, или (x – 3)2 = –4,

замечаем, что левая часть ни при каком значении x не может стать отрицательной. Следовательно, уравнение не имеет корней.